ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $5x-2>0$ и $x^2-2x+2a-a^2⩾0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом определён. Получаем совокупность двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (5x-2)=0,\\ x^2-2x+2a-a^2⩾0;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{x}^2-2x+2a-a^2=0,\\ 5x-2>0.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $5x-2>0$ выполнено автоматически, так как $\ln (5x-2)=0$ означает $5x-2=1$. Во второй системе подкоренное выражение равно нулю, так что условие $⩾0$ тоже выполнено.

Подкоренное выражение удобно разложить на множители, выделив полные квадраты:

$$x^2-2x+2a-a^2=(x-1{)}^2-(a-1{)}^2=(x-a)(x+a-2).$$

Первая система. $5x-2=1$, то есть $x=\frac{3}{5}$. Это число лежит на отрезке $[0;1]$. Подставим его в неравенство и умножим на $25$:

$$\frac{9}{25}-\frac{6}{5}+2a-a^2⩾0;9-30+50a-25a^2⩾0;25a^2-50a+21⩽0.$$

Корни трёхчлена: $\frac{D}{4}=625-525=100$, $a=\frac{25\pm 10}{25}$, то есть $a=\frac{3}{5}$ и $a=\frac{7}{5}$. Ветви параболы направлены вверх, неравенство выполнено между корнями:

Корень $x=\frac{3}{5}$ подходит при $a\in \left[\frac{3}{5};\frac{7}{5}\right]$.

Вторая система. Подкоренное выражение равно нулю при $x=a$ или $x=2-a$. Нужно проверить условие $5x-2>0$ и принадлежность отрезку $[0;1]$.

Корень $x=a$:

$$\{\begin{array}{l}5a-2>0,\\ 0⩽a⩽1\end{array}\iff \frac{2}{5}<a⩽1.$$

Корень $x=2-a$:

$$\{\begin{array}{l}5(2-a)-2>0,\\ 0⩽2-a⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a<\frac{8}{5},\\ 1⩽a⩽2\end{array}\iff 1⩽a<\frac{8}{5}.$$

На отрезке $[0;1]$ эти два корня описываются одной формулой $x=1-|a-1|$: при $a⩽1$ это $x=a$, при $a⩾1$ — $x=2-a$. На плоскости $(x;a)$ решения — это отрезок прямой $x=\frac{3}{5}$ и ломаная $x=1-|a-1|$.

Совпадения корней. $\frac{3}{5}=a$ при $a=\frac{3}{5}$; $\frac{3}{5}=2-a$ при $a=\frac{7}{5}$; $a=2-a$ при $a=1$.

Отметим на оси параметра, при каких $a$ существует каждый корень, и посчитаем число различных корней на каждом промежутке:

• $a⩽\frac{2}{5}$: корней нет.
• $\frac{2}{5}<a<\frac{3}{5}$: есть только $x=a$ — один корень, подходит.
• $a=\frac{3}{5}$: корни $x=\frac{3}{5}$ и $x=a$ совпадают — один корень, подходит.
• $\frac{3}{5}<a<1$: корни $\frac{3}{5}$ и $a$ различны — два корня.
• $a=1$: корни $\frac{3}{5}$ и $1$ — два корня.
• $1<a<\frac{7}{5}$: корни $\frac{3}{5}$ и $2-a$ различны — два корня.
• $a=\frac{7}{5}$: корни $\frac{3}{5}$ и $2-a$ совпадают — один корень, подходит.
• $\frac{7}{5}<a<\frac{8}{5}$: есть только $x=2-a$ — один корень, подходит.
• $a⩾\frac{8}{5}$: корней нет.

Ответ: $a\in \left(\frac{2}{5};\frac{3}{5}\right]\cup \left[\frac{7}{5};\frac{8}{5}\right)$.