ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Случай $\sin \alpha =0$, то есть $\alpha =\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$. Тогда $\cos \alpha =\pm 1\ne 0$, и уравнение принимает вид $2x^2\cos \alpha =0$, откуда $x=0$. Корень один — такие $\alpha$ не подходят.

Случай $\sin \alpha \ne 0$. Разделим уравнение на $\sin \alpha$ и сделаем замену $t=x^2$, $t⩾0$:

$$t^2+2t\mathrm{ctg}\alpha +1=0.$$

Каждый корень $t>0$ даёт два корня $x=\pm \sqrt{t}$, корень $t=0$ дал бы один корень $x=0$, а отрицательный корень $t$ корней $x$ не даёт.

По теореме Виета произведение корней этого уравнения (если они есть) равно $1$. Поэтому $t=0$ его корнем не бывает, а оба корня одного знака.

• Если дискриминант отрицателен, корней $t$ нет, и корней $x$ тоже нет.
• Если дискриминант положителен, есть два различных корня $t$ одного знака: если оба положительны, получаем четыре корня $x$, если оба отрицательны — ни одного.
• Если дискриминант равен нулю, корень $t_0$ один; он даёт ровно два корня $x$, если $t_0>0$.

Значит, ровно два корня бывают только при нулевом дискриминанте и положительном корне:

$$\frac{D}{4}={\mathrm{ctg}}^2\alpha -1=0,t_0=-\mathrm{ctg}\alpha >0.$$

Из первого условия $\mathrm{ctg}\alpha =\pm 1$, а второе оставляет только $\mathrm{ctg}\alpha =-1$. Тогда

$$\alpha =-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Проверка: при таких $\alpha$ имеем $\cos \alpha =-\sin \alpha$, и уравнение принимает вид $\sin \alpha \left(x^4-2x^2+1\right)=\sin \alpha {\left(x^2-1\right)}^2=0$. Его корни $x=\pm 1$ — их ровно два.

Ответ: $\alpha =-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.