ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Оставим слева $x^6+3x^2$, а остальные слагаемые перенесём вправо:

$$x^6+3x^2=-(5a-8x{)}^3+24x-15a.$$

Так как $-(5a-8x{)}^3=(8x-5a{)}^3$ и $24x-15a=3(8x-5a)$, получаем

$${\left(x^2\right)}^3+3x^2=(8x-5a{)}^3+3(8x-5a).$$

Рассмотрим функцию $f(t)=t^3+3t$. Уравнение имеет вид $f\left(x^2\right)=f(8x-5a)$.

Функция $f$ возрастает на всей числовой прямой, так как $f^{\prime }(t)=3t^2+3>0$ при всех $t$. Возрастающая функция каждое своё значение принимает ровно один раз: если $u<v$, то $f(u)<f(v)$. Поэтому $f(u)=f(v)$ равносильно $u=v$, и исходное уравнение равносильно уравнению

$$x^2=8x-5a\iff x^2-8x+5a=0.$$

Квадратное уравнение не имеет корней, когда его дискриминант отрицателен:

$$\frac{D}{4}=16-5a<0;a>\frac{16}{5}.$$

При $a=\frac{16}{5}$ дискриминант равен нулю, и уравнение имеет корень $x=4$, поэтому это значение не подходит.

Ответ: $a\in \left(\frac{16}{5};+\infty \right)$.