ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $u=x+1$, тогда $x=u-1$ и $2x-a=2u-2-a$. Уравнение примет вид

$$u|u|=2u-2-a\iff a=2u-2-u|u|.$$

Каждому $u$ соответствует ровно одно $x$, поэтому число корней $x$ равно числу корней $u$ уравнения $h(u)=a$, где $h(u)=2u-2-u|u|$. Решим задачу графически: построим график $a=h(u)$ на плоскости $(u;a)$. Число корней — это число его общих точек с горизонтальной прямой на высоте $a$.

При $u⩾0$: $h(u)=-u^2+2u-2=-(u-1{)}^2-1$. Это часть параболы ветвями вниз с вершиной $(1;-1)$: на $[0;1]$ функция возрастает от $h(0)=-2$ до $-1$, на $[1;+\infty )$ убывает от $-1$ до $-\infty$.

При $u<0$: $h(u)=u^2+2u-2=(u+1{)}^2-3$. Это часть параболы ветвями вверх с вершиной $(-1;-3)$: на $(-\infty ;-1]$ функция убывает от $+\infty$ до $-3$, на $[-1;0)$ возрастает от $-3$, приближаясь к $-2$.

Обе формулы при $u=0$ дают $-2$, так что график непрерывен. Итак, $h$ убывает на $(-\infty ;-1]$ от $+\infty$ до $-3$, возрастает на $[-1;1]$ от $-3$ до $-1$ и убывает на $[1;+\infty )$ от $-1$ до $-\infty$.

На каждом из трёх участков монотонности горизонтальная прямая пересекает график не больше одного раза. Она пересекает участок, если $a$ входит в его множество значений: $[-3;+\infty )$ для первого участка, $[-3;-1]$ для второго, $(-\infty ;-1]$ для третьего. Соседние участки имеют общие точки — вершины парабол $(-1;-3)$ и $(1;-1)$.

• $a>-1$: прямая пересекает только первый участок — один корень.
• $a=-1$: на первом участке точка $u=-1-\sqrt{2}$ (из $(u+1{)}^2-3=-1$), а второй и третий участки дают общую вершину $u=1$ — два корня.
• $-3<a<-1$: по одной точке на каждом участке, и все они различны — три корня.
• $a=-3$: первый и второй участки дают общую вершину $u=-1$, на третьем участке точка $u=1+\sqrt{2}$ (из $-(u-1{)}^2-1=-3$) — два корня.
• $a<-3$: прямая пересекает только третий участок — один корень.

Проверка. При $a=-1$ корни $x=u-1$ равны $0$ и $-2-\sqrt{2}$; например, при $x=0$ получаем $1\cdot |1|=1=0-(-1)$. При $a=-3$ корни равны $-2$ и $\sqrt{2}$; при $x=-2$ получаем $(-1)\cdot |-1|=-1=-4+3$.

Ровно два корня уравнение имеет при $a=-1$ и при $a=-3$.

Ответ: $a\in \{-3;-1\}$.