Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Перенесём слагаемые так, чтобы модули оказались справа:
Обозначим левую часть , правую — .
Левая часть. Так как , то , причём равенство достигается только при . Значит, : наименьшее значение левая часть принимает при .
Правая часть. При имеем . Как бы ни раскрывался модуль, получается линейная функция с угловым коэффициентом или . Оба отрицательны, поэтому убывает на : это непрерывная ломаная, все звенья которой идут вниз. При имеем с угловыми коэффициентами или — оба положительны, и возрастает на . Значит, наибольшее значение правой части
Получаем, что при левая часть наименьшая, а правая наибольшая.
Когда есть корень. Если , то при всех
и корней нет.
Пусть . Рассмотрим непрерывную функцию ; для неё . При по неравенству для модуля , поэтому , а . Отсюда
При получаем . Непрерывная функция на отрезке принимает значения разных знаков (или нуль в точке ), значит, обращается в нуль. Корень есть.
Итак, уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение левой части не больше наибольшего значения правой:
Решим неравенство, раскрыв модуль.
При : . Найдём корни трёхчлена: , . Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполнено между корнями:
Так как , левый конец положителен, и все эти удовлетворяют условию .
При : . Здесь , а старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен положителен при всех . Решений нет.
Ответ: .