ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $y-x+8⩾0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}y-x+8=0,\\ \{\begin{array}{l}xy-x+8=0,\\ y-x+8⩾0.\end{array}\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$.

Прямая. Уравнение $y-x+8=0$ задаёт прямую $\ell$: $y=x-8$. На ней $\sqrt{y-x+8}=0$, поэтому прямая входит в множество решений первого уравнения целиком.

Гипербола. В уравнении $xy-x+8=0$ значение $x=0$ невозможно (получилось бы $8=0$), поэтому $x(y-1)=-8$, то есть $y=1-\frac{8}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=1$. Нужна её часть, где $y⩾x-8$:

$$1-\frac{8}{x}⩾x-8;\frac{9x-8-x^2}{x}⩾0;\frac{(x-1)(x-8)}{x}⩽0.$$

Решим неравенство методом интервалов:

Получаем $x<0$ или $1⩽x⩽8$. Значит, от гиперболы остаётся вся левая ветвь и дуга правой ветви между точками $B(1;-7)$ и $A(8;0)$. Эти точки лежат и на прямой $\ell$: при $x=1$ и $x=8$ неравенство обращается в равенство.

Второе уравнение $y=2x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $2$. При увеличении $a$ прямая сдвигается вверх. Число решений системы равно числу общих точек прямой $y=2x+a$ с построенным множеством.

Общие точки с прямой $\ell$. Прямые $y=x-8$ и $y=2x+a$ не параллельны, поэтому при любом $a$ пересекаются ровно в одной точке: $x-8=2x+a$, $x=-a-8$.

Общие точки с гиперболой. Приравняем: $1-\frac{8}{x}=2x+a$. Умножим на $x\ne 0$ и перенесём всё в одну сторону:

$$2x^2+(a-1)x+8=0.$$

Обозначим левую часть $g(x)$. По теореме Виета произведение корней равно $4>0$, поэтому корни (если они есть) одного знака. Дискриминант $D=(a-1{)}^2-64$.

• При $-7<a<9$ имеем $(a-1{)}^2<64$, $D<0$ — общих точек с гиперболой нет.
• При $a=9$: $g(x)=2x^2+8x+8=2(x+2{)}^2$, корень $x=-2<0$ — прямая касается левой ветви в точке $(-2;5)$.
• При $a=-7$: $g(x)=2x^2-8x+8=2(x-2{)}^2$, корень $x=2\in [1;8]$ — прямая касается дуги в точке $(2;-3)$.
• При $a>9$: $D>0$, сумма корней $\frac{1-a}{2}<0$, оба корня отрицательны — две точки на левой ветви.
• При $a<-7$: $D>0$, сумма корней $\frac{1-a}{2}>0$, оба корня $x_1<x_2$ положительны. Их произведение равно $4$, поэтому $x_1<2<x_2$. Значит, $x_1<8$ и $x_2>1$ выполнены всегда, и надо проверить только $x_1⩾1$ и $x_2⩽8$.

Так как $1<x_2$, условие $x_1⩾1$ означает, что число $1$ не лежит строго между корнями, то есть $g(1)⩾0$:

$$g(1)=2+a-1+8=a+9⩾0;a⩾-9.$$

Так как $8>x_1$, условие $x_2⩽8$ равносильно $g(8)⩾0$:

$$g(8)=128+8a-8+8=8a+128⩾0;a⩾-16.$$

Итог по гиперболе при $a<-7$: две точки на дуге при $-9⩽a<-7$, одна (корень $x_2$) при $-16⩽a<-9$, ни одной при $a<-16$.

Совпадения. Точка прямой $\ell$ может совпасть с точкой гиперболы только там, где гипербола пересекает $\ell$, то есть в точках $A$ и $B$. Прямая $y=2x+a$ проходит через $A(8;0)$ при $0=16+a$, то есть $a=-16$, и через $B(1;-7)$ при $-7=2+a$, то есть $a=-9$.

При $a=-16$: $g(x)=2x^2-17x+8=(2x-1)(x-8)$, корни $\frac{1}{2}$ (не на дуге) и $8$ (точка $A$). Точка на прямой $\ell$: $x=-a-8=8$ — тоже $A$. Решение одно.

При $a=-9$: $g(x)=2x^2-10x+8=2(x-1)(x-4)$, корни $1$ (точка $B$) и $4$ (точка $(4;-1)$ на дуге). Точка на прямой $\ell$: $x=-a-8=1$ — снова $B$. Решений два: $B$ и $(4;-1)$.

На рисунке пунктиром показаны граничные положения прямой $y=2x+a$, тонкой линией — отброшенные части гиперболы.

Сложим количества общих точек, двигая прямую снизу вверх.

• $a<-16$: одна точка на $\ell$, на гиперболе — ни одной. Решение одно.
• $a=-16$: одно решение (точка $A$).
• $-16<a<-9$: точка на $\ell$ и точка $x_2$ на дуге. Они различны, так как совпадение возможно только при $a=-16$ и $a=-9$. Решений два — подходит.
• $a=-9$: два решения — подходит.
• $-9<a<-7$: точка на $\ell$ и две точки на дуге — три решения.
• $a=-7$: точка $(-1;-9)$ на $\ell$ и точка касания $(2;-3)$ — два решения, подходит.
• $-7<a<9$: только точка на $\ell$ — одно решение.
• $a=9$: точка $(-17;-25)$ на $\ell$ и точка касания $(-2;5)$ — два решения, подходит.
• $a>9$: точка на $\ell$ и две точки на левой ветви — три решения.

Ответ: $a\in (-16;-9]\cup \{-7;9\}$.