ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$. Сделаем замену $y=x+\frac{9}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{y}^2-2y-49a+14=0.$$

Сколько корней $x$ даёт значение $y$. Уравнение $x+\frac{9}{x}=y$ при $x\ne 0$ равносильно квадратному уравнению

$$x^2-yx+9=0$$

(число $x=0$ его корнем не является, так как $9\ne 0$). Его дискриминант равен $y^2-36$. Значит:

• при $|y|>6$ получаем два различных корня $x$;
• при $|y|=6$ — один корень ($x=3$ при $y=6$ и $x=-3$ при $y=-6$);
• при $|y|<6$ корней нет.

Разным значениям $y$ соответствуют разные $x$: по числу $x$ значение $y$ находится однозначно. Поэтому число корней исходного уравнения равно сумме количеств корней $x$, которые дают все различные корни $y$.

Случай $a=0$. Уравнение $-2y+14=0$ даёт $y=7$. Так как $|7|>6$, получаем два корня $x$ — значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение квадратное относительно $y$. Его дискриминант

$$D=4-4a(14-49a)=196a^2-56a+4=(14a-2{)}^2,$$

корни

$$y=\frac{2\pm (14a-2)}{2a};y_1=\frac{14a}{2a}=7,y_2=\frac{4-14a}{2a}=\frac{2-7a}{a}.$$

Корень $y_1=7$ при любом $a$ даёт два корня $x$. Значит, корней ровно два тогда и только тогда, когда корень $y_2$ не добавляет новых решений: либо $y_2=y_1$, либо $|y_2|<6$. Если же $|y_2|=6$, корней будет три, а если $|y_2|>6$ и $y_2\ne 7$ — четыре.

Совпадение корней. $\frac{2-7a}{a}=7$ при $2-7a=7a$, то есть при $a=\frac{1}{7}$ (это случай $D=0$). Тогда $y=7$ — единственный корень, и корней $x$ ровно два. Значение $a=\frac{1}{7}$ подходит.

Условие $|y_2|<6$. Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат. Затем разложим разность квадратов:

$${\left(\frac{2-7a}{a}\right)}^2-36<0;\left(\frac{2-7a}{a}-6\right)\left(\frac{2-7a}{a}+6\right)<0;\frac{(2-13a)(2-a)}{a^2}<0.$$

Так как $(2-13a)(2-a)=(13a-2)(a-2)$, получаем

$$\frac{(13a-2)(a-2)}{a^2}<0.$$

Решим методом интервалов: числитель обращается в нуль при $a=\frac{2}{13}$ и $a=2$, знаменатель — при $a=0$, причём $a^2>0$ при $a\ne 0$, и знак в этой точке не меняется.

Получаем $\frac{2}{13}<a<2$. Значение $a=\frac{1}{7}$ в этот промежуток не входит: $\frac{1}{7}=\frac{2}{14}<\frac{2}{13}$. Значит, внутри промежутка $y_2\ne 7$, и корней ровно два.

Объединяем: $a=0$, $a=\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{13}<a<2$.

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{1}{7}\right\}\cup \left(\frac{2}{13};2\right)$.