ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $u=a{x}^2+2x$. Уравнение примет вид

$$u^2-\left(a^2+a+2\right)u+a^2(a+2)=0.$$

Числа $a^2$ и $a+2$ в сумме дают $a^2+a+2$, а в произведении — $a^2(a+2)$. По теореме, обратной теореме Виета, это корни уравнения: $u=a^2$ или $u=a+2$. Вернёмся к переменной $x$:

$$[\begin{array}{l}a{x}^2+2x-a^2=0,(1)\\ a{x}^2+2x-(a+2)=0.(2)\end{array}$$

Общие корни. Если число $x_0$ — корень обоих уравнений, то $a{x}_0^2+2x_0$ равно и $a^2$, и $a+2$, поэтому $a^2=a+2$. Это уравнение $a^2-a-2=0$ с корнями $a=-1$ и $a=2$. При остальных $a$ общих корней у уравнений $(1)$ и $(2)$ нет, и число корней исходного уравнения равно сумме чисел корней уравнений $(1)$ и $(2)$.

Случай $a=0$. Уравнения принимают вид $2x=0$ и $2x=2$, их корни $x=0$ и $x=1$. Корней ровно два — значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Оба уравнения квадратные.

Уравнение $(2)$: подстановка $x=1$ даёт $a+2-a-2=0$, значит, $x=1$ — его корень. По теореме Виета произведение корней равно $-\frac{a+2}{a}$, поэтому второй корень $x=-\frac{a+2}{a}$. Корни совпадают, если $-\frac{a+2}{a}=1$, то есть $-a-2=a$, $a=-1$. Итак, уравнение $(2)$ имеет два различных корня при $a\ne -1$ и один корень при $a=-1$.

Уравнение $(1)$: четверть дискриминанта

$$\frac{D_1}{4}=1+a\cdot a^2=1+a^3.$$

Неравенство $1+a^3>0$ равносильно $a^3>-1$, то есть $a>-1$ (функция $a^3$ возрастает). Значит, уравнение $(1)$ имеет два корня при $a>-1$, один корень при $a=-1$ и не имеет корней при $a<-1$.

Разберём все случаи при $a\ne 0$.

• $a<-1$: уравнение $(1)$ корней не имеет, уравнение $(2)$ имеет два корня — всего два корня, подходит.
• $a=-1$: здесь $a^2=a+2=1$, и оба уравнения совпадают: $-x^2+2x-1=0$, то есть $(x-1{)}^2=0$, $x=1$. Корень один — не подходит.
• $-1<a<0$ и $a>0$, кроме $a=2$: каждое уравнение имеет по два корня, общих корней нет — всего четыре корня, не подходит.
• $a=2$: здесь $a^2=a+2=4$, и оба уравнения совпадают: $2x^2+2x-4=0$, то есть $x^2+x-2=0$, корни $x=1$ и $x=-2$. Корней ровно два — подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup \{0;2\}$.