ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Преобразуем первое уравнение. Логарифмы с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда их аргументы равны и положительны. Достаточно потребовать положительность одного аргумента: если аргументы равны, второй тоже будет положительным. Получаем

$${\log }_3\left(a-x^2\right)={\log }_3\left(a-y^2\right)\iff \{\begin{array}{l}a-x^2=a-y^2,\\ a-x^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{y}^2=x^2,\\ x^2<a.\end{array}$$

Равенство $y^2=x^2$ означает $y=x$ или $y=-x$ — это две прямые.

Второе уравнение не содержит параметра. Перенесём всё влево и выделим полные квадраты:

$$x^2-4x+4+y^2-6y+9=13;(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=13.$$

Это окружность с центром $(2;3)$ и радиусом $\sqrt{13}$. Она проходит через начало координат, так как $4+9=13$.

Итак, исходная система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=x,\\ y=-x,\end{array}\\ x^2+y^2=4x+6y,\\ x^2<a.\end{array}$$

Найдём точки пересечения прямых с окружностью.

При $y=x$: $2x^2=10x$, $2x(x-5)=0$, откуда $x=0$ или $x=5$ — точки $O(0;0)$ и $C(5;5)$.

При $y=-x$: $2x^2=4x-6x$, $2x^2+2x=0$, $2x(x+1)=0$, откуда $x=0$ или $x=-1$ — точки $O(0;0)$ и $B(-1;1)$.

Без условия $x^2<a$ система имеет три решения: $O(0;0)$, $B(-1;1)$ и $C(5;5)$. Осталось выяснить, какие из них удовлетворяют условию $x^2<a$.

Если $a⩽0$, неравенство $x^2<a$ не выполняется ни при каком $x$, и решений нет.

Если $a>0$, неравенство означает $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$. На плоскости это вертикальная полоса между прямыми $x=-\sqrt{a}$ и $x=\sqrt{a}$, сами прямые в неё не входят. При увеличении $a$ полоса симметрично расширяется.

Точка $O$ ($x=0$) лежит в полосе при любом $a>0$. Точка $B$ ($x=-1$) — при $1<a$. Точка $C$ ($x=5$) — при $25<a$. На рисунке пунктиром показаны граничные положения полосы: прямые $x=\pm 1$ (при $a=1$) и $x=\pm 5$ (при $a=25$).

Получаем:

• при $0<a⩽1$ одно решение $O$;
• при $1<a⩽25$ два решения $O$ и $B$;
• при $a>25$ три решения.

При $a=1$ точка $B$ лежит на границе полосы: $x^2=1=a$, и строгое неравенство $x^2<a$ не выполнено, поэтому решение одно. При $a=25$ на границе лежит точка $C$, она не входит, и решений ровно два.

Ответ: $a\in (1;25]$.