ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ уравнения:

$$\{\begin{array}{l}5x-3⩾0,\\ 3x-a>0,\\ 4x+a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{5x-3}\cdot \left(\ln (3x-a)-\ln (4x+a)\right)=0.$$

На ОДЗ оба множителя определены, а произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, на ОДЗ уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\sqrt{5x-3}=0,\\ \ln (3x-a)=\ln (4x+a).\end{array}$$

Первое уравнение даёт $x_1=\frac{3}{5}$. Во втором логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы (функция $\ln$ возрастает): $3x-a=4x+a$, откуда $x_2=-2a$.

Назовём корень подходящим, если он удовлетворяет ОДЗ и лежит на отрезке $[0;1]$.

Когда подходит $x_1=\frac{3}{5}$. Число $\frac{3}{5}$ лежит на отрезке $[0;1]$, и $5\cdot \frac{3}{5}-3=0⩾0$. Осталось проверить аргументы логарифмов:

$$\{\begin{array}{l}\frac{9}{5}-a>0,\\ \frac{12}{5}+a>0\end{array}\iff -\frac{12}{5}<a<\frac{9}{5}.$$

Когда подходит $x_2=-2a$. Нужно:

$$\{\begin{array}{l}5\cdot (-2a)-3⩾0,\\ 3\cdot (-2a)-a>0,\\ 0⩽-2a⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a⩽-\frac{3}{10},\\ a<0,\\ -\frac{1}{2}⩽a⩽0\end{array}\iff -\frac{1}{2}⩽a⩽-\frac{3}{10}.$$

Условие $4x+a>0$ отдельно проверять не нужно: при $x=x_2$ аргументы логарифмов равны, $4x_2+a=3x_2-a=-7a$.

Совпадение. $x_1=x_2$ при $-2a=\frac{3}{5}$, то есть при $a=-\frac{3}{10}$.

Теперь найдём, когда подходящий корень ровно один.

1. Подходит $x_1$, но не подходит $x_2$: $a\in \left(-\frac{12}{5};\frac{9}{5}\right)$ и $a\notin \left[-\frac{1}{2};-\frac{3}{10}\right]$, то есть

$$a\in \left(-\frac{12}{5};-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{10};\frac{9}{5}\right).$$

2. Подходит $x_2$, но не подходит $x_1$: нужно $-\frac{1}{2}⩽a⩽-\frac{3}{10}$ и одновременно $a⩽-\frac{12}{5}$ или $a⩾\frac{9}{5}$. Таких $a$ нет.

3. Подходят оба, но совпадают: $a=-\frac{3}{10}$. Это значение лежит в промежутке $\left(-\frac{12}{5};\frac{9}{5}\right)$, корень $x=\frac{3}{5}$ подходит, и он единственный. Значение подходит.

При $-\frac{1}{2}⩽a<-\frac{3}{10}$ подходят оба корня, и они различны, — корней два, такие $a$ не подходят.

Ответ: $a\in \left(-\frac{12}{5};-\frac{1}{2}\right)\cup \left[-\frac{3}{10};\frac{9}{5}\right)$.