ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x⩾0$. Тогда $|x|=x$, и уравнение принимает вид

$$a^2+ax-2x^2-6a+6x=0.$$

Рассмотрим его как квадратное относительно $a$: $a^2+(x-6)a+\left(6x-2x^2\right)=0$. Его дискриминант

$$D=(x-6{)}^2-4\left(6x-2x^2\right)=9x^2-36x+36=9(x-2{)}^2,$$

поэтому

$$a=\frac{6-x\pm 3(x-2)}{2},a=x\text{или}a=6-2x.$$

Значит, левая часть раскладывается на множители: $(a-x)(a+2x-6)=0$. Отсюда $x=a$ или $x=\frac{6-a}{2}$. Каждое из этих чисел — корень уравнения, если оно неотрицательно:

$$x_1=a\text{— корень при}a⩾0;x_2=\frac{6-a}{2}\text{— корень при}a⩽6.$$

Случай 2: $x<0$. Тогда $|x|=-x$, и уравнение принимает вид

$$a^2+ax-2x^2-6a-12x=0.$$

Как квадратное относительно $a$: $a^2+(x-6)a-\left(2x^2+12x\right)=0$,

$$D=(x-6{)}^2+4\left(2x^2+12x\right)=9x^2+36x+36=9(x+2{)}^2,$$

$$a=\frac{6-x\pm 3(x+2)}{2},a=x+6\text{или}a=-2x.$$

Получаем $(a-x-6)(a+2x)=0$, откуда $x=a-6$ или $x=-\frac{a}{2}$. Это корни, если они отрицательны:

$$x_3=a-6\text{— корень при}a<6;x_4=-\frac{a}{2}\text{— корень при}a>0.$$

На плоскости $(x;a)$ решения изображаются четырьмя лучами: $a=x$ и $a=6-2x$ при $x⩾0$, $a=x+6$ и $a=-2x$ при $x<0$. Число корней при данном $a$ — это число точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с этими лучами.

Совпадения корней. Корни из разных случаев различны: $x_1,x_2⩾0$, а $x_3,x_4<0$. Внутри первого случая $x_1=x_2$ при $a=\frac{6-a}{2}$, то есть при $a=2$ (корень $x=2$). Внутри второго $x_3=x_4$ при $a-6=-\frac{a}{2}$, то есть при $a=4$ (корень $x=-2$).

Посчитаем число корней.

• $a<0$: существуют только $x_2=\frac{6-a}{2}>0$ и $x_3=a-6<0$ — два корня.
• $a=0$: $x_1=0$, $x_2=3$, $x_3=-6$, а $x_4=0$ не отрицателен — три корня.
• $0<a<6$: существуют все четыре корня. Они различны, кроме $a=2$ (корни $2$, $-4$, $-1$ — три) и $a=4$ (корни $4$, $1$, $-2$ — три). При остальных $a$ из этого промежутка корней четыре.
• $a=6$: $x_1=6$, $x_2=0$, $x_4=-3$, а $x_3=0$ не отрицателен — три корня.
• $a>6$: существуют только $x_1=a$ и $x_4=-\frac{a}{2}$ — два корня.

Меньше четырёх различных корней уравнение имеет при $a⩽0$, $a=2$, $a=4$ и $a⩾6$.

Ответ: $a\in (-\infty ;0]\cup \{2;4\}\cup [6;+\infty )$.