ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x\ne 0$. Сделаем замену $t=x+\frac{a^2}{x}$. Уравнение примет вид

$$|t+1|+|t-1|=2.$$

Решим его, раскрыв модули на промежутках.

• При $t<-1$ оба подмодульных выражения отрицательны: $-(t+1)-(t-1)=2$, то есть $-2t=2$, $t=-1$ — не входит в промежуток.
• При $-1⩽t⩽1$: $(t+1)-(t-1)=2$, то есть $2=2$ — верно при любом $t$ из промежутка.
• При $t>1$: $(t+1)+(t-1)=2$, то есть $2t=2$, $t=1$ — не входит в промежуток.

Значит, уравнение выполняется ровно при $-1⩽t⩽1$. На графике левой части это горизонтальное «дно корыта» на высоте $2$:

Следовательно, исходное уравнение равносильно двойному неравенству

$$-1⩽x+\frac{a^2}{x}⩽1,\text{то есть}\left|x+\frac{a^2}{x}\right|⩽1,x\ne 0.$$

Нужно найти все $a$, при которых это неравенство имеет хотя бы одно решение.

Случай $a=0$. Неравенство принимает вид $|x|⩽1$, $x\ne 0$, и имеет решения, например $x=1$. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Числа $x$ и $\frac{a^2}{x}$ одного знака (так как $a^2>0$), поэтому модуль их суммы равен сумме модулей:

$$\left|x+\frac{a^2}{x}\right|=|x|+\frac{a^2}{|x|}.$$

Оценим эту сумму снизу. Вычтем $2|a|$ и выделим полный квадрат (учтём, что $x^2=|x{|}^2$):

$$|x|+\frac{a^2}{|x|}-2|a|=\frac{|x{|}^2-2|a|\cdot |x|+a^2}{|x|}=\frac{{\left(|x|-|a|\right)}^2}{|x|}⩾0.$$

Значит, при всех $x\ne 0$

$$\left|x+\frac{a^2}{x}\right|⩾2|a|,$$

причём равенство достигается при $|x|=|a|$, например при $x=|a|$. Это неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел $|x|$ и $\frac{a^2}{|x|}$.

Получаем два варианта.

• Если $2|a|>1$, то $\left|x+\frac{a^2}{x}\right|⩾2|a|>1$ при всех $x\ne 0$, и решений нет.
• Если $2|a|⩽1$, то при $x=|a|$ получаем $\left|x+\frac{a^2}{x}\right|=2|a|⩽1$, — решение есть.

Значит, при $a\ne 0$ корни есть тогда и только тогда, когда $|a|⩽\frac{1}{2}$, то есть $-\frac{1}{2}⩽a⩽\frac{1}{2}$. Вместе со значением $a=0$ получаем отрезок $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$.

Другой способ — метод интервалов. Двойное неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}x+\frac{a^2}{x}⩾-1,\\ x+\frac{a^2}{x}⩽1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{x^2+x+a^2}{x}⩾0,\\ \frac{x^2-x+a^2}{x}⩽0.\end{array}$$

Оба числителя имеют один и тот же дискриминант $D=1-4a^2$.

Если $D<0$, то есть $|a|>\frac{1}{2}$, оба числителя положительны при всех $x$ (старший коэффициент положителен). Тогда первое неравенство означает $x>0$, второе — $x<0$, и система решений не имеет.

Если $D>0$, то есть $|a|<\frac{1}{2}$, и при этом $a\ne 0$, корни первого числителя

$$x_{1,2}=\frac{-1\mp \sqrt{1-4a^2}}{2}$$

оба отрицательны: их произведение $a^2>0$, а сумма $-1<0$. Методом интервалов решения первого неравенства: $x\in [x_1;x_2]\cup (0;+\infty )$.

Корни второго числителя $x_{3,4}=\frac{1\mp \sqrt{1-4a^2}}{2}$ оба положительны (произведение $a^2>0$, сумма $1>0$). Решения второго неравенства: $x\in (-\infty ;0)\cup [x_3;x_4]$.

Пересечение $[x_1;x_2]\cup [x_3;x_4]$ не пусто — решения есть. При $a=0$ решения тоже есть, как показано выше.

Если $D=0$, то есть $a=\pm \frac{1}{2}$, числители — полные квадраты, и система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2}{x}⩾0,\\ \frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}{x}⩽0.\end{array}$$

Решения первого неравенства: $x=-\frac{1}{2}$ или $x>0$.

Решения второго: $x<0$ или $x=\frac{1}{2}$.

Пересечение: $x=\pm \frac{1}{2}$ — решения есть.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: $a\in \left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$.