ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=\cos x$. Уравнение $\cos x=t$ имеет бесконечно много корней при $-1⩽t⩽1$ и не имеет корней при $|t|>1$. Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда уравнение

$$(a+3)t^2+2\left(a^2+3a\right)t+8a^2+8a-48=0$$

имеет хотя бы один корень на отрезке $[-1;1]$.

Разложим коэффициенты на множители. Во втором коэффициенте $a^2+3a=a(a+3)$. В свободном члене $8a^2+8a-48=8\left(a^2+a-6\right)$, а корни трёхчлена $a^2+a-6$ по теореме, обратной теореме Виета, равны $-3$ и $2$, поэтому $8a^2+8a-48=8(a+3)(a-2)$. Вынесем общий множитель $a+3$:

$$(a+3)\left(t^2+2at+8(a-2)\right)=0.$$

Случай $a=-3$. Уравнение превращается в верное равенство $0=0$ при любом $t$, то есть исходное уравнение выполняется при любом $x$. Корни есть, значение $a=-3$ подходит.

Случай $a\ne -3$. Разделим уравнение на $a+3\ne 0$:

$$t^2+2at+8a-16=0.$$

Найдём четверть дискриминанта:

$$\frac{D}{4}=a^2-(8a-16)=a^2-8a+16=(a-4{)}^2.$$

Корни уравнения:

$$t=-a\pm (a-4);t_1=-4,t_2=4-2a.$$

Корень $t_1=-4$ не лежит на отрезке $[-1;1]$ и корней $x$ не даёт. Значит, на этом отрезке должен лежать корень $t_2$:

$$-1⩽4-2a⩽1;-5⩽-2a⩽-3;\frac{3}{2}⩽a⩽\frac{5}{2}.$$

Все эти значения отличны от $-3$, поэтому они подходят.

Объединим оба случая.

Ответ: $a\in \{-3\}\cup \left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]$.