ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Найдём ОДЗ: $x+a>0$ и $x-a>0$, то есть $x>-a$ и $x>a$. Вместе эти условия означают $x>|a|$.

Сделаем замену $t={\log }_2(x+a)-{\log }_2(x-a)$. Уравнение примет вид

$$t^2-3at+2a^2-a-1=0.$$

Решим его как квадратное относительно $t$:

$$D=9a^2-4\left(2a^2-a-1\right)=a^2+4a+4=(a+2{)}^2;$$

$$t=\frac{3a\pm (a+2)}{2},t_1=2a+1,t_2=a-1.$$

Теперь выясним, сколько корней $x$ даёт каждое значение $t$. На ОДЗ по свойству разности логарифмов

$$t={\log }_2\frac{x+a}{x-a},\text{то есть}{2}^t=\frac{x+a}{x-a}.$$

Случай $a=0$. ОДЗ: $x>0$, и $t={\log }_{2}x-{\log }_{2}x=0$ при всех таких $x$. Уравнение превращается в $0-0+0-0-1=0$, то есть в неверное равенство $-1=0$. Решений нет, значение $a=0$ не подходит.

Случай $a\ne 0$. Выразим $x$ из равенства $2^t=\frac{x+a}{x-a}$:

$$2^t(x-a)=x+a;x\left(2^t-1\right)=a\left(2^t+1\right).$$

Если $t=0$, получаем $0=2a$, что неверно при $a\ne 0$, — значение $t=0$ корней не даёт. Если $t\ne 0$, то $x$ находится однозначно:

$$x=\frac{a\left(2^t+1\right)}{2^t-1}.$$

Осталось проверить ОДЗ. Для найденного $x$

$$x-a=\frac{2a}{2^t-1},x+a=\frac{2a\cdot 2^t}{2^t-1}.$$

Так как $2^t>0$, обе величины имеют тот же знак, что и дробь $\frac{a}{2^t-1}$. Они положительны, когда $a$ и $2^t-1$ одного знака. А $2^t-1>0$ при $t>0$ и $2^t-1<0$ при $t<0$. Итак:

• при $a>0$ каждое значение $t>0$ даёт ровно один корень $x$, а значения $t⩽0$ корней не дают;
• при $a<0$ каждое значение $t<0$ даёт ровно один корень $x$, а значения $t⩾0$ корней не дают.

То же видно по графику функции $y=\frac{x+a}{x-a}=1+\frac{2a}{x-a}$ — гиперболы с асимптотами $x=a$ и $y=1$. При $a>0$ на ОДЗ $x>a$ она принимает каждое значение, большее $1$, ровно один раз (это значения $2^t$ при $t>0$). При $a<0$ на ОДЗ $x>-a$ она принимает каждое значение из промежутка $(0;1)$ ровно один раз (в точке $x=-a$ её значение равно $0$), а это значения $2^t$ при $t<0$.

Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда числа $t_1$ и $t_2$ различны, отличны от нуля и оба имеют тот же знак, что и $a$.

Совпадение $t_1$ и $t_2$. $2a+1=a-1$ при $a=-2$. Тогда уравнение относительно $t$ имеет единственный корень $t=-3$, и исходное уравнение имеет не больше одного корня. Значение $a=-2$ не подходит.

При $a>0$ нужно, чтобы $t_1>0$ и $t_2>0$:

$$\{\begin{array}{l}2a+1>0,\\ a-1>0,\end{array}\text{откуда}a>1.$$

Все такие $a$ положительны, так что условие $a>0$ выполнено.

При $a<0$ нужно, чтобы $t_1<0$ и $t_2<0$:

$$\{\begin{array}{l}2a+1<0,\\ a-1<0,\end{array}\text{откуда}a<-\frac{1}{2}.$$

Исключая $a=-2$, получаем $a\in (-\infty ;-2)\cup \left(-2;-\frac{1}{2}\right)$.

Граничные значения не подходят: при $a=1$ корень $t_2=0$ не даёт $x$, и остаётся один корень (от $t_1=3$); при $a=-\frac{1}{2}$ корень $t_1=0$ не даёт $x$, и остаётся один корень (от $t_2=-\frac{3}{2}$).

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup \left(-2;-\frac{1}{2}\right)\cup (1;+\infty )$.