ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Преобразуем второе уравнение системы. Перенесём все слагаемые влево и сгруппируем:

$$xy-x-y+1=0;x(y-1)-(y-1)=0;(x-1)(y-1)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, $x=1$ или $y=1$, и исходная система равносильна совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2+2ax+(a+2)y+1=0,\\ x=1;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2+2ax+(a+2)y+1=0,\\ y=1.\end{array}\end{array}$$

Решения первой системы лежат на прямой $x=1$, решения второй — на прямой $y=1$. Эти прямые пересекаются в единственной точке $(1;1)$, поэтому решения двух систем могут совпасть только в этой точке.

Первая система. Подставим $x=1$ в первое уравнение: $a+a{y}^2+2a+(a+2)y+1=0$, то есть

$$a{y}^2+(a+2)y+3a+1=0.(1)$$

Каждому корню $y$ уравнения $(1)$ соответствует ровно одно решение $(1;y)$ системы.

Вторая система. Подставим $y=1$: $a{x}^2+a+2ax+(a+2)+1=0$, то есть

$$a{x}^2+2ax+2a+3=0.(2)$$

Каждому корню $x$ уравнения $(2)$ соответствует ровно одно решение $(x;1)$.

Каждое из уравнений $(1)$ и $(2)$ при $a\ne 0$ квадратное, а при $a=0$ квадратным не является; в любом случае у него не больше двух корней. Значит, у системы не больше $2+2=4$ решений. Ровно четыре решения будет только тогда, когда каждое уравнение имеет два различных корня и среди полученных точек нет совпадающих, то есть точка $(1;1)$ не является решением.

Случай $a=0$. Уравнение $(1)$ принимает вид $2y+1=0$ и имеет один корень $y=-\frac{1}{2}$, а уравнение $(2)$ принимает вид $3=0$ и корней не имеет. Система имеет одно решение, значение $a=0$ не подходит.

Случай $a\ne 0$. Оба уравнения квадратные. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен. Для уравнения $(1)$:

$$D_1=(a+2{)}^2-4a(3a+1)=a^2+4a+4-12a^2-4a=4-11a^2.$$

Условие $D_1>0$ означает $a^2<\frac{4}{11}$, то есть $-\frac{2}{\sqrt{11}}<a<\frac{2}{\sqrt{11}}$.

Для уравнения $(2)$:

$$D_2=(2a{)}^2-4a(2a+3)=4a^2-8a^2-12a=-4a(a+3).$$

Условие $D_2>0$ означает $a(a+3)<0$, то есть $-3<a<0$.

Оба условия должны выполняться одновременно. Так как $\frac{2}{\sqrt{11}}<1<3$, то $-3<-\frac{2}{\sqrt{11}}$, и пересечение промежутков —

$$-\frac{2}{\sqrt{11}}<a<0.$$

Условие $a\ne 0$ здесь выполнено автоматически.

Совпадение решений. Точка $(1;1)$ является решением обеих систем сразу, если она удовлетворяет первому уравнению исходной системы:

$$a+a+2a+(a+2)+1=0;5a+3=0;a=-\frac{3}{5}.$$

Проверим, лежит ли это значение в найденном промежутке. Сравним положительные числа $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{\sqrt{11}}$ через их квадраты: $\frac{9}{25}=\frac{99}{275}$, а $\frac{4}{11}=\frac{100}{275}$. Значит, $\frac{3}{5}<\frac{2}{\sqrt{11}}$, то есть $-\frac{2}{\sqrt{11}}<-\frac{3}{5}<0$.

При $a=-\frac{3}{5}$ уравнение $(1)$ после умножения на $-5$ принимает вид $3y^2-7y+4=0$, его корни $y=1$ и $y=\frac{4}{3}$. Уравнение $(2)$ после умножения на $-5$ принимает вид $3x^2+6x-9=0$, его корни $x=1$ и $x=-3$. Решения системы: $(1;1)$, $\left(1;\frac{4}{3}\right)$, $(-3;1)$ — их только три, значение $a=-\frac{3}{5}$ не подходит.

При остальных $a$ из промежутка $\left(-\frac{2}{\sqrt{11}};0\right)$ точка $(1;1)$ решением не является, и четыре найденных решения попарно различны.

Ответ: $a\in \left(-\frac{2}{\sqrt{11}};-\frac{3}{5}\right)\cup \left(-\frac{3}{5};0\right)$.