ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$.

Второе уравнение. $y=\sqrt{x+6}$ равносильно системе $y⩾0$, $y^2=x+6$. Это верхняя ветвь параболы $x=y^2-6$: она начинается в точке $(-6;0)$, возрастает и проходит, например, через точки $\left(0;\sqrt{6}\right)$ и $(3;3)$.

Первое уравнение. При $a>0$ уравнение $|x|+|y|=a$ задаёт квадрат $ABCD$ с вершинами на осях: $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$. Действительно, раскрывая модули в каждой четверти, получаем четыре отрезка, соединяющие эти точки.

У решений системы $y⩾0$. При $y⩾0$ уравнение принимает вид $y=a-|x|$, $-a⩽x⩽a$, то есть остаются стороны

$$AB:y=x+a,-a⩽x⩽0;BC:y=a-x,0⩽x⩽a.$$

Нижние стороны квадрата имеют с полуплоскостью $y⩾0$ общие точки только $A$ и $C$, которые уже входят в $AB$ и $BC$. При увеличении $a$ квадрат растёт.

Граничные положения.

Положение I: вершина $B(0;a)$ лежит на ветви: $a=\sqrt{0+6}$, то есть $a=\sqrt{6}$.

Положение II: вершина $A(-a;0)$ лежит на ветви: $0=\sqrt{6-a}$, то есть $a=6$.

Положение III: сторона $AB$ касается ветви. Приравняем $\sqrt{x+6}=x+a$; на стороне $AB$ правая часть неотрицательна, поэтому возведём в квадрат:

$$x+6=x^2+2ax+a^2;x^2+(2a-1)x+a^2-6=0.$$

Касанию соответствует нулевой дискриминант:

$$D=(2a-1{)}^2-4\left(a^2-6\right)=25-4a=0;a=\frac{25}{4}.$$

Тогда точка касания $x=-\frac{2a-1}{2}=-\frac{23}{4}$, $y=x+a=\frac{1}{2}$. Она лежит на стороне $AB$: $-\frac{25}{4}⩽-\frac{23}{4}⩽0$.

Обоснуем подсчёт точек.

Сторона $BC$. При $x⩾0$ ветвь возрастает, а прямая $y=a-x$ убывает, поэтому общих точек не больше одной. Функция $\phi (x)=\sqrt{x+6}-(a-x)$ возрастает на $[0;a]$, причём $\phi (0)=\sqrt{6}-a$ и $\phi (a)=\sqrt{a+6}>0$. Значит, на $BC$ общая точка есть (и одна) тогда и только тогда, когда $\phi (0)⩽0$, то есть $a⩾\sqrt{6}$. При $a=\sqrt{6}$ это вершина $B$.

Сторона $AB$. Точки ветви с $x⩽0$ имеют вид $\left(y^2-6;y\right)$, где $0⩽y⩽\sqrt{6}$. Такая точка лежит на прямой $y=x+a$, если

$$a=y-x=-y^2+y+6.$$

Условие $x⩾-a$ на стороне $AB$ равносильно $y⩾0$ и выполнено. Функция $g(y)=-y^2+y+6$ — парабола ветвями вниз с вершиной $y=\frac{1}{2}$: на $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ она возрастает от $g(0)=6$ до $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{25}{4}$, а на $\left[\frac{1}{2};\sqrt{6}\right]$ убывает до $g\left(\sqrt{6}\right)=\sqrt{6}$. Поэтому на стороне $AB$ лежит:

• при $a<\sqrt{6}$ и $a>\frac{25}{4}$ — ни одной точки;
• при $\sqrt{6}⩽a<6$ — одна точка;
• при $6⩽a<\frac{25}{4}$ — две точки;
• при $a=\frac{25}{4}$ — одна точка (касание).

Значения $\sqrt{6}$, $6$ и $\frac{25}{4}$ здесь — как раз положения I, II и III.

Совпадения. Стороны $AB$ и $BC$ имеют общую точку только $B$, и она лежит на ветви лишь при $a=\sqrt{6}$.

Подсчёт решений.

• $0<a<\sqrt{6}$: квадрат целиком ниже ветви — решений нет;
• $a=\sqrt{6}$: одно решение — точка $B\left(0;\sqrt{6}\right)$;
• $\sqrt{6}<a<6$: $1+1=2$;
• $a=6$: $2+1=3$ — точки $A(-6;0)$, $(-5;1)$ и $(3;3)$;
• $6<a<\frac{25}{4}$: $2+1=3$;
• $a=\frac{25}{4}$: $1+1=2$;
• $a>\frac{25}{4}$: $0+1=1$.

На рисунке показаны верхние половины квадрата в положениях I, II и III. Положения II и III близки ($6$ и $6,25$), поэтому соответствующие пунктиры идут почти рядом.

Ровно три решения система имеет при $6⩽a<\frac{25}{4}$.

Ответ: $a\in \left[6;\frac{25}{4}\right)$.