Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (x+1/(x-a))²-(a+9)(x+1/(x-a))+2a(9-a)=0… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Многочлены и параметр сложная 2014 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

$(x + \frac{1}{x - a})^{2} - (a + 9) (x + \frac{1}{x - a}) + 2 a (9 - a) = 0$

будет иметь четыре различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений: $x \neq = a$ .

Замена. Пусть $t = x + \frac{1}{x - a}$ . Уравнение примет вид

$t^{2} - (a + 9) t + 2 a (9 - a) = 0.$

По теореме Виета сумма корней равна $a + 9$ , а произведение равно $2 a (9 - a)$ . Этим условиям удовлетворяют числа

$t_{1} = 9 - a, t_{2} = 2 a,$

так как $(9 - a) + 2 a = 9 + a$ и $(9 - a) \cdot 2 a = 2 a (9 - a)$ .

Обратная замена. Решим уравнение $x + \frac{1}{x - a} = t$ при $x \neq = a$ . Умножим на $x - a$ :

$x (x - a) + 1 = t (x - a); x^{2} - (a + t) x + a t + 1 = 0.$

Число $x = a$ никогда не является корнем: при подстановке получаем $a^{2} - (a + t) a + a t + 1 = 1 \neq = 0$ . Поэтому условие $x \neq = a$ выполняется автоматически.

Подставим найденные $t$ :

$t = 9 - a : x^{2} - 9 x + 9 a - a^{2} + 1 = 0; (1)$

$t = 2 a : x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} + 1 = 0. (2)$

Сколько всего корней. Каждое $x$ определяет единственное значение $t = x + \frac{1}{x - a}$ . Поэтому при $t_{1} \neq = t_{2}$ уравнения $(1)$ и $(2)$ не имеют общих корней. Это видно и напрямую: если $x_{0}$ — общий корень, то, вычитая уравнения, получаем

$- 9 x_{0} + 3 a x_{0} + 9 a - 3 a^{2} = 0; 3 (a - 3) (x_{0} - a) = 0,$

то есть $a = 3$ или $x_{0} = a$ , а $x_{0} = a$ корнем не бывает.

Если $t_{1} = t_{2}$ , то есть $9 - a = 2 a$ , $a = 3$ , уравнения $(1)$ и $(2)$ совпадают, и корней не больше двух — это значение не подходит.

При $a \neq = 3$ четыре различных корня будут тогда и только тогда, когда каждое из уравнений $(1)$ и $(2)$ имеет два различных корня, то есть оба дискриминанта положительны.

Дискриминант уравнения $(1)$ :

$D_{1} = 81 - 4 (9 a - a^{2} + 1) = 4 a^{2} - 36 a + 77.$

Корни уравнения $4 a^{2} - 36 a + 77 = 0$ :

$a = \frac{36 \pm 1296 - 1232}{8} = \frac{36 \pm 8}{8}; a = \frac{7}{2} или a = \frac{11}{2} .$

Метод интервалов

$D_{1} > 0$ при $a < \frac{7}{2}$ или $a > \frac{11}{2}$ .

Дискриминант уравнения $(2)$ :

$D_{2} = 9 a^{2} - 4 (2 a^{2} + 1) = a^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow (a + 2) (a - 2) > 0.$

Метод интервалов

$D_{2} > 0$ при $a < - 2$ или $a > 2$ .

Пересечение. Оба дискриминанта положительны при $a < - 2$ , при $2 < a < \frac{7}{2}$ и при $a > \frac{11}{2}$ . Исключаем $a = 3$ , которое попадает в промежуток $(2; \frac{7}{2})$ .

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in (- \infty; - 2) \cup (2; 3) \cup (3; \frac{7}{2}) \cup (\frac{11}{2}; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19