ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Равенство модулей $|u|=|v|$ равносильно тому, что $u=v$ или $u=-v$. Поэтому

$$|y|=\left|x^2-2x\right|\iff [\begin{array}{l}y=x^2-2x,\\ y=2x-x^2.\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Первая парабола $y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ направлена ветвями вверх, её вершина $(1;-1)$. Вторая $y=2x-x^2=-(x-1{)}^2+1$ направлена ветвями вниз, вершина $(1;1)$. Найдём их общие точки:

$$x^2-2x=2x-x^2;2x^2-4x=0;x=0\text{или}x=2.$$

Параболы пересекаются в точках $(0;0)$ и $(2;0)$.

Первое уравнение. $x+y=a$, то есть $y=a-x$, — семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$. При увеличении $a$ прямая сдвигается вверх.

Число решений системы равно числу общих точек прямой с объединением двух парабол.

Прямая и первая парабола. $x^2-2x=a-x$, то есть

$$x^2-x-a=0,D_1=1+4a.$$

При $a<-\frac{1}{4}$ общих точек нет, при $a=-\frac{1}{4}$ прямая касается параболы в точке $\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{4}\right)$, при $a>-\frac{1}{4}$ общих точек две (разным $x$ соответствуют разные точки прямой).

Прямая и вторая парабола. $2x-x^2=a-x$, то есть

$$x^2-3x+a=0,D_2=9-4a.$$

При $a>\frac{9}{4}$ общих точек нет, при $a=\frac{9}{4}$ — касание в точке $\left(\frac{3}{2};\frac{3}{4}\right)$, при $a<\frac{9}{4}$ общих точек две.

Совпадения. Точка прямой может лежать на обеих параболах, только если это $(0;0)$ или $(2;0)$. Прямая проходит через $(0;0)$ при $a=0$ и через $(2;0)$ при $a=2$.

При $a=0$: $x^2-x=0$ даёт $x=0$, $x=1$, а $x^2-3x=0$ даёт $x=0$, $x=3$. Решения $(0;0)$, $(1;-1)$, $(3;-3)$ — три.

При $a=2$: $x^2-x-2=0$ даёт $x=-1$, $x=2$, а $x^2-3x+2=0$ даёт $x=1$, $x=2$. Решения $(-1;3)$, $(2;0)$, $(1;1)$ — три.

Подсчёт решений.

• $a<-\frac{1}{4}$: $0+2=2$;
• $a=-\frac{1}{4}$: $1+2=3$;
• $-\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}$, $a\ne 0$, $a\ne 2$: $2+2=4$;
• $a=0$ и $a=2$: три;
• $a=\frac{9}{4}$: $2+1=3$;
• $a>\frac{9}{4}$: $2+0=2$.

На рисунке пунктиром показаны граничные положения прямой — касательные к параболам.

Ровно два решения получаются при $a<-\frac{1}{4}$ и при $a>\frac{9}{4}$.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{9}{4};+\infty \right)$.