ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем модули. Нули подмодульных выражений — $x=-1$ и $x=1$. Они делят числовую прямую на три промежутка; концы отнесём к крайним промежуткам, а средний возьмём открытым — тогда каждый $x$ попадает ровно в один случай.

1) $x⩽-1$. Здесь $|x+1|=-x-1$, $|x-1|=1-x$:

$$-a(x+1)+(1-a)(1-x)+2=0;-ax-a+1-x-a+ax+2=0;x=3-2a.$$

Корень подходит, если он лежит в промежутке:

$$3-2a⩽-1;2a⩾4;a⩾2.$$

2) $-1<x<1$. Здесь $|x+1|=x+1$, $|x-1|=1-x$:

$$a(x+1)+(1-a)(1-x)+2=0;ax+a+1-x-a+ax+2=0;(2a-1)x=-3.$$

При $a=\frac{1}{2}$ получаем $0=-3$ — корней нет. При $a\ne \frac{1}{2}$ корень $x=\frac{3}{1-2a}$. Он подходит, если $-1<\frac{3}{1-2a}<1$. Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю:

$$\{\begin{array}{l}\frac{3}{1-2a}+1>0,\\ \frac{3}{1-2a}-1<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{4-2a}{1-2a}>0,\\ \frac{2+2a}{1-2a}<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{a-2}{a-\frac{1}{2}}>0,\\ \frac{a+1}{a-\frac{1}{2}}>0.\end{array}$$

В первой дроби мы разделили числитель и знаменатель на $-2$, знак дроби не изменился. Во второй числитель разделили на $2$, знаменатель на $-2$, поэтому знак неравенства сменился. Решим оба неравенства методом интервалов.

Первое неравенство даёт $a<\frac{1}{2}$ или $a>2$, второе — $a<-1$ или $a>\frac{1}{2}$. Пересечение:

$$a\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty ).$$

3) $x⩾1$. Здесь $|x+1|=x+1$, $|x-1|=x-1$:

$$a(x+1)+(1-a)(x-1)+2=0;ax+a+x-1-ax+a+2=0;x=-2a-1.$$

Корень подходит, если

$$-2a-1⩾1;-2a⩾2;a⩽-1.$$

Подсчёт корней. Нанесём на ось параметра найденные корни вместе с условиями их существования. Корни из разных случаев лежат в разных промежутках, поэтому совпадать не могут.

• $a<-1$: корни $x=\frac{3}{1-2a}$ (случай 2) и $x=-2a-1$ (случай 3) — два корня;
• $a=-1$: только $x=1$ (случай 3), так как во втором случае $-1$ не входит в найденное множество — один корень;
• $-1<a<2$: ни один случай корня не даёт — корней нет;
• $a=2$: только $x=-1$ (случай 1) — один корень;
• $a>2$: корни $x=3-2a$ (случай 1) и $x=\frac{3}{1-2a}$ (случай 2) — два корня.

Ответ легко проверить по графику левой части $f(x)=a|x+1|+(1-a)|x-1|+2$: это ломаная с угловым коэффициентом $-1$ при $x<-1$ и $1$ при $x>1$, а $f(-1)=4-2a$, $f(1)=2a+2$. Например, при $a=3$ получаем $f(-1)=-2<0$, и ломаная пересекает ось абсцисс дважды — в точках $x=-3$ и $x=-\frac{3}{5}$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )$.