ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Сведение к одному уравнению. Из второго уравнения $y=x-a$. Подставим в первое:

$$(x-a{)}^2+x-2=\left|x^2+x-2\right|.$$

Каждому корню $x$ этого уравнения соответствует ровно одно решение $(x;x-a)$ системы, поэтому считаем различные корни $x$.

Раскрытие модуля. Разложим $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$. Оно неотрицательно при $x⩽-2$ или $x⩾1$ и отрицательно при $-2<x<1$. Уравнение равносильно совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x⩽-2\text{или}x⩾1,\\ (x-a{)}^2+x-2=x^2+x-2,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}-2<x<1,\\ (x-a{)}^2+x-2=-x^2-x+2.\end{array}\end{array}$$

Упростим уравнения. В первой системе $(x-a{)}^2=x^2$, то есть $a^2-2ax=0$:

$$a(a-2x)=0.(\mathrm{I})$$

Во второй системе $x^2-2ax+a^2+x-2+x^2+x-2=0$, то есть $2x^2+(2-2a)x+a^2-4=0$. Разделим на $2$:

$$x^2+(1-a)x+\frac{a^2}{2}-2=0.(\mathrm{II})$$

Промежутки двух систем не пересекаются, поэтому их корни всегда различны.

Случай $a=0$. Уравнение $(\mathrm{I})$ превращается в верное равенство $0=0$, и корнями будут все $x⩽-2$ и все $x⩾1$. Решений бесконечно много, значит, $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение $(\mathrm{I})$ даёт $x=\frac{a}{2}$. Этот корень подходит, если $\frac{a}{2}⩽-2$ или $\frac{a}{2}⩾1$, то есть при $a⩽-4$ или $a⩾2$. Значит, первая система даёт не больше одного решения, а вторая — не больше двух (уравнение квадратное). Решений больше двух тогда и только тогда, когда первая система даёт одно решение, а уравнение $(\mathrm{II})$ имеет два различных корня на интервале $(-2;1)$.

Два корня на интервале. Обозначим $f(x)=x^2+(1-a)x+\frac{a^2}{2}-2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому оба корня лежат на интервале $(-2;1)$ тогда и только тогда, когда дискриминант положителен, значения на концах интервала положительны, а вершина лежит внутри интервала. Концы не включаются: точки $x=-2$ и $x=1$ уже относятся к первой системе.

Дискриминант:

$$D=(1-a{)}^2-4\left(\frac{a^2}{2}-2\right)=-a^2-2a+9>0\iff a^2+2a-9<0\iff -1-\sqrt{10}<a<-1+\sqrt{10}.$$

Значение в точке $-2$:

$$f(-2)=4-2+2a+\frac{a^2}{2}-2=\frac{a(a+4)}{2}>0\iff a<-4\text{или}a>0.$$

Значение в точке $1$:

$$f(1)=1+1-a+\frac{a^2}{2}-2=\frac{a(a-2)}{2}>0\iff a<0\text{или}a>2.$$

Вершина $x_0=\frac{a-1}{2}$:

$$-2<\frac{a-1}{2}<1\iff -3<a<3.$$

Пересечём условия. Так как $-1-\sqrt{10}<-3$ и $-1+\sqrt{10}<3$, из условий на дискриминант и вершину получаем $-3<a<-1+\sqrt{10}$. Условие $f(-2)>0$ оставляет $0<a<-1+\sqrt{10}$, условие $f(1)>0$ — $2<a<-1+\sqrt{10}$.

Осталось условие на первую систему: $a⩽-4$ или $a⩾2$. На промежутке $\left(2;-1+\sqrt{10}\right)$ оно выполнено, корень $x=\frac{a}{2}$ лежит в промежутке $x⩾1$. Итак, при $2<a<-1+\sqrt{10}$ решений ровно три.

Граничные значения. При $a=2$ первая система даёт $x=1$, а уравнение $(\mathrm{II})$ принимает вид $x^2-x=0$, и на интервал $(-2;1)$ попадает только корень $x=0$: решений два. При $a=-1+\sqrt{10}$ дискриминант равен нулю, у второй системы один корень: решений тоже два. Обе границы в ответ не входят.

Ответ: $a\in \{0\}\cup \left(2;\sqrt{10}-1\right)$.