ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Уравнение $y=\sqrt{4-x^2}$ равносильно системе $y⩾0$, $y^2=4-x^2$, то есть

$$x^2+y^2=4,y⩾0.$$

Это верхняя полуокружность с центром $O(0;0)$ и радиусом $2$, её концы — точки $(-2;0)$ и $(2;0)$. У всех её точек $0⩽y⩽2$.

Первое уравнение. Нули подмодульных выражений: $x=a$ и $y=0$. Эти прямые делят плоскость на четыре части, и в каждой модули раскрываются со своими знаками:

• $x⩾a$, $y⩾0$: $x-a+y=2$, то есть $y=-x+2+a$;
• $x⩾a$, $y<0$: $x-a-y=2$, то есть $y=x-2-a$;
• $x<a$, $y⩾0$: $-x+a+y=2$, то есть $y=x+2-a$;
• $x<a$, $y<0$: $-x+a-y=2$, то есть $y=-x-2+a$.

Получается квадрат (ромб) с центром $(a;0)$ и вершинами $(a-2;0)$, $(a;2)$, $(a+2;0)$, $(a;-2)$. При изменении $a$ он сдвигается вдоль оси $Ox$.

Так как у решений $y⩾0$, нижняя половина ромба не нужна. Остаются две стороны:

• левая сторона $L$: $y=x+2-a$ при $a-2⩽x⩽a$;
• правая сторона $R$: $y=-x+2+a$ при $a⩽x⩽a+2$.

Упрощение. На прямой $y=x+2-a$ условие $a-2⩽x⩽a$ равносильно условию $0⩽y⩽2$. А у точек полуокружности всегда $0⩽y⩽2$. Значит, все общие точки полуокружности с прямой $y-x=2-a$ автоматически лежат на стороне $L$. Точно так же все общие точки полуокружности с прямой $x+y=2+a$ лежат на стороне $R$. Обе прямые проходят через вершину $(a;2)$, и только она у них общая; на полуокружности она лежит лишь при $a=0$ (это точка $(0;2)$).

Сколько точек полуокружности лежит на прямой $x+y=c$. Подставим $y=c-x$ в уравнение окружности:

$$x^2+(c-x{)}^2=4;2x^2-2cx+c^2-4=0;x=\frac{c\pm \sqrt{8-c^2}}{2}.$$

Корни есть при $c^2⩽8$, то есть при $|c|⩽2\sqrt{2}$. Точка лежит на верхней полуокружности, если $y=c-x⩾0$, то есть $x⩽c$.

Для корня со знаком «минус» условие $\frac{c-\sqrt{8-c^2}}{2}⩽c$ равносильно $\sqrt{8-c^2}⩾-c$. При $c⩾0$ это верно, при $c<0$ возведём в квадрат: $8-c^2⩾c^2$, $c⩾-2$. Итак, этот корень подходит при $-2⩽c⩽2\sqrt{2}$.

Для корня со знаком «плюс» условие равносильно $\sqrt{8-c^2}⩽c$, то есть $c⩾0$ и $8-c^2⩽c^2$: $c⩾2$. Этот корень подходит при $2⩽c⩽2\sqrt{2}$, причём при $c=2\sqrt{2}$ оба корня совпадают — это касание в точке $\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$.

Обозначим число точек через $N(c)$:

$$N(c)=\{\begin{array}{ll}0,& c<-2\text{или}c>2\sqrt{2},\\ 1,& -2⩽c<2,\\ 2,& 2⩽c<2\sqrt{2},\\ 1,& c=2\sqrt{2}.\end{array}$$

Геометрически: прямая проходит через конец $(-2;0)$ при $c=-2$, через конец $(2;0)$ при $c=2$ и касается полуокружности при $c=2\sqrt{2}$. Полуокружность симметрична относительно оси $Oy$, а замена $x$ на $-x$ переводит прямую $y-x=c$ в прямую $y+x=c$. Поэтому на прямой $y-x=c$ лежит столько же точек полуокружности, $N(c)$.

Граничные положения ромба. Число решений системы равно

$$N(2+a)+N(2-a)$$

с поправкой: при $a=0$ точка $(0;2)$ посчитана дважды. Значения, в которых меняется число точек:

• $2+a=-2$, $a=-4$: правая вершина ромба $(a+2;0)$ попадает в точку $(-2;0)$;
• $2-a=2\sqrt{2}$, $a=2-2\sqrt{2}$: левая сторона касается полуокружности в точке $\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$;
• $a=0$: обе прямые проходят через концы полуокружности, а вершина $(0;2)$ лежит на ней;
• $2+a=2\sqrt{2}$, $a=2\sqrt{2}-2$: правая сторона касается полуокружности в точке $\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$;
• $2-a=-2$, $a=4$: левая вершина ромба $(a-2;0)$ попадает в точку $(2;0)$.

Те же значения касания получаются из дискриминанта. Например, для левой стороны: $x^2+(x+2-a{)}^2=4$, $2x^2+(4-2a)x+a^2-4a=0$, $D=-4a^2+16a+16=0$, $a=2\pm 2\sqrt{2}$; при $a=2+2\sqrt{2}$ касание происходит с нижней половиной окружности, которой в системе нет.

Подсчёт решений. Здесь $2-2\sqrt{2}\approx -0,83$ и $2\sqrt{2}-2\approx 0,83$.

• $a<-4$: $0+0=0$;
• $-4⩽a<2-2\sqrt{2}$: $N(2+a)=1$, $N(2-a)=0$ — одно решение;
• $a=2-2\sqrt{2}$: $1+1=2$;
• $2-2\sqrt{2}<a<0$: $1+2=3$;
• $a=0$: $2+2-1=3$ (точки $(-2;0)$, $(0;2)$, $(2;0)$);
• $0<a<2\sqrt{2}-2$: $2+1=3$;
• $a=2\sqrt{2}-2$: $1+1=2$;
• $2\sqrt{2}-2<a⩽4$: $0+1=1$ — одно решение;
• $a>4$: решений нет.

Граничные значения $a=-4$ и $a=4$ входят в ответ: ромб касается полуокружности одной вершиной. Значения касания $a=\pm \left(2-2\sqrt{2}\right)$ не входят: в этот момент появляется вторая общая точка.

Ответ: $a\in \left[-4;2-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2}-2;4\right]$.