ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Равносильный переход. Левая часть уравнения $2|y|=x^2-4x$ неотрицательна, поэтому решения возможны только при $x^2-4x⩾0$. При этом условии $|y|=\frac{x^2-4x}{2}$, то есть $y=\pm \frac{x^2-4x}{2}$. Система равносильна такой:

$$\{\begin{array}{l}y=4x+a,\\ x^2-4x⩾0,\\ [\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x}^2-2x,\\ y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x.\end{array}\end{array}$$

Условие $x(x-4)⩾0$ означает $x⩽0$ или $x⩾4$.

Множество $S$. Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$. Обозначим через $S$ множество точек, удовлетворяющих совокупности при условии $x⩽0$ или $x⩾4$. Оно состоит из частей двух парабол:

• $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(2;-2)$; при $x⩽0$ и $x⩾4$ её точки лежат не ниже оси $Ox$;
• $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$ — парабола ветвями вниз с вершиной $(2;2)$; при тех же $x$ её точки лежат не выше оси $Ox$.

Обе параболы проходят через точки $(0;0)$ и $(4;0)$, где $x^2-4x=0$, и других общих точек у оставленных частей нет. Нужно найти все $a$, при которых прямая $l$: $y=4x+a$ имеет с множеством $S$ ровно две общие точки. При увеличении $a$ прямая сдвигается вверх, не меняя наклона.

Пересечение с верхней частью $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x$. Приравняем:

$$\frac{1}{2}{x}^2-2x=4x+a;x^2-12x=2a;(x-6{)}^2=2a+36.$$

При $a<-18$ корней нет. При $a=-18$ корень один, $x=6$: прямая касается параболы в точке $(6;6)$, и эта точка подходит, так как $6⩾4$. При $a>-18$ корни $x=6\pm \sqrt{2a+36}$.

Больший корень $x=6+\sqrt{2a+36}>4$ подходит всегда. Меньший корень $x=6-\sqrt{2a+36}$ подходит, если $6-\sqrt{2a+36}⩾4$ или $6-\sqrt{2a+36}⩽0$:

$$\sqrt{2a+36}⩽2\iff a⩽-16;\sqrt{2a+36}⩾6\iff a⩾0.$$

Это соответствует положениям прямой, проходящей через точку $(4;0)$ ($0=16+a$, $a=-16$) и через точку $(0;0)$ ($a=0$). Итог для верхней части: при $a<-18$ точек нет, при $a=-18$ — одна, при $-18<a⩽-16$ — две, при $-16<a<0$ — одна, при $a⩾0$ — две.

Пересечение с нижней частью $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$. Приравняем:

$$-\frac{1}{2}{x}^2+2x=4x+a;x^2+4x=-2a;(x+2{)}^2=4-2a.$$

При $a>2$ корней нет. При $a=2$ корень один, $x=-2$: прямая касается параболы в точке $(-2;-6)$, которая подходит, так как $-2⩽0$. При $a<2$ корни $x=-2\pm \sqrt{4-2a}$.

Меньший корень $x=-2-\sqrt{4-2a}<0$ подходит всегда. Больший корень $x=-2+\sqrt{4-2a}$ подходит, если он не больше $0$ или не меньше $4$:

$$\sqrt{4-2a}⩽2\iff a⩾0;\sqrt{4-2a}⩾6\iff a⩽-16.$$

Итог для нижней части: при $a>2$ точек нет, при $a=2$ — одна, при $0⩽a<2$ — две, при $-16<a<0$ — одна, при $a⩽-16$ — две.

Совпадения. Точки верхней и нижней частей совпадают только в $(0;0)$ и $(4;0)$, то есть при $a=0$ и $a=-16$. При $a=0$ верхняя часть даёт $x=0$ и $x=12$, нижняя — $x=-4$ и $x=0$: различных решений три. При $a=-16$ верхняя часть даёт $x=4$ и $x=8$, нижняя — $x=-8$ и $x=4$: тоже три.

Подсчёт решений. Каждой точке соответствует одно решение системы.

• $a<-18$: $0+2=2$;
• $a=-18$: $1+2=3$;
• $-18<a<-16$: $2+2=4$;
• $a=-16$: три;
• $-16<a<0$: $1+1=2$;
• $a=0$: три;
• $0<a<2$: $2+2=4$;
• $a=2$: $2+1=3$;
• $a>2$: $2+0=2$.

На рисунке показаны четыре граничных положения прямой; часть точек пересечения (например, $x=-8$ при $a=-16$) лежит за пределами рисунка, их наличие следует из подсчёта.

Ровно два решения система имеет при $a<-18$, при $-16<a<0$ и при $a>2$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-18)\cup (-16;0)\cup (2;+\infty )$.