ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Решим уравнение методом оценки. Вспомним, что квадрат любого числа неотрицателен, а косинус любого числа не больше $1$.

Первое слагаемое левой части. Выделим полный квадрат:

$$x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1⩾1.$$

Основание не меньше $1$, то есть положительно, поэтому при возведении в квадрат неравенство сохраняется:

$${\left(x^2-4x+5\right)}^2⩾1,$$

причём равенство достигается только при $x=2$.

Второе слагаемое левой части. Это квадрат, поэтому

$${\left(x^2-p^2-3p\right)}^2⩾0,$$

и равенство достигается только при $x^2=p^2+3p$.

Значит, при любых $x$ и $p$ левая часть не меньше $1+0=1$. Правая часть, наоборот, не больше $1$:

$$\cos \left(p\pi +\frac{\pi }{2}x\right)⩽1.$$

Следовательно, равенство левой и правой частей возможно тогда и только тогда, когда обе они равны $1$, то есть когда одновременно выполнены все три условия:

$$\{\begin{array}{l}x=2,\\ x^2-p^2-3p=0,\\ \cos \left(p\pi +\frac{\pi }{2}x\right)=1.\end{array}$$

Подставим $x=2$ во второе уравнение:

$$4-p^2-3p=0;p^2+3p-4=0;(p-1)(p+4)=0;p=1\text{или}p=-4.$$

Подставим $x=2$ в третье уравнение: $\cos (p\pi +\pi )=1$. Косинус равен $1$ только в точках $2\pi k$, поэтому

$$p\pi +\pi =2\pi k;p=2k-1,k\in \mathbb{Z},$$

то есть $p$ должно быть нечётным целым числом.

Из двух найденных значений нечётное только $p=1$ (при $k=1$). Для $p=-4$ получаем $\cos (-3\pi )=-1\ne 1$, и это значение не подходит.

Проверка: при $p=1$ и $x=2$ левая часть равна $1^2+(4-1-3{)}^2=1$, правая равна $\cos 2\pi =1$. Итак, корень $x=2$ существует только при $p=1$; при остальных $p$ одно из условий нарушено, и корней нет.

Ответ: $p=1$.