ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Замена. Корень определён при $1-4x⩾0$, то есть при $x⩽\frac{1}{4}$. Сделаем замену $t=\sqrt{1-4x}$, $t⩾0$. Тогда $t^2=1-4x$ и

$$x=\frac{1-t^2}{4},|x|=\frac{\left|1-t^2\right|}{4}.$$

Каждому $t⩾0$ соответствует ровно одно $x⩽\frac{1}{4}$, и наоборот. Поэтому число различных решений исходного уравнения равно числу различных решений $t⩾0$ уравнения

$$t=a-\frac{3}{4}\left|1-t^2\right|\iff a=t+\frac{3}{4}\left|t^2-1\right|.$$

Решим задачу графически: построим на плоскости $(t;a)$ график правой части при $t⩾0$ и будем пересекать его горизонтальными прямыми $a=\text{const}$.

Случай $0⩽t⩽1$. Здесь $\left|t^2-1\right|=1-t^2$, и

$$a=-\frac{3}{4}{t}^2+t+\frac{3}{4}.$$

Это дуга параболы ветвями вниз. Её вершина:

$$t_{\text{в}}=-\frac{1}{2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{2}{3},a_{\text{в}}=-\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{13}{12}.$$

На концах: при $t=0$ получаем $a=\frac{3}{4}$, при $t=1$ получаем $a=-\frac{3}{4}+1+\frac{3}{4}=1$. Значит, на $\left[0;\frac{2}{3}\right]$ функция возрастает от $\frac{3}{4}$ до $\frac{13}{12}$, а на $\left[\frac{2}{3};1\right]$ убывает от $\frac{13}{12}$ до $1$.

Случай $t>1$. Здесь $\left|t^2-1\right|=t^2-1$, и

$$a=\frac{3}{4}{t}^2+t-\frac{3}{4}.$$

Это парабола ветвями вверх с вершиной в точке $t=-\frac{2}{3}$, которая левее $1$. Поэтому при $t>1$ функция возрастает и принимает все значения больше $\frac{3}{4}+1-\frac{3}{4}=1$.

Изобразим график и основные положения горизонтальных прямых.

Положению I соответствует $a=\frac{3}{4}$, положению II — $a=1$, положению III — $a=\frac{13}{12}$.

Подсчёт решений. Каждый из трёх участков монотонен, поэтому на каждом прямая $a=\text{const}$ даёт не больше одной точки.

• При $a<\frac{3}{4}$ решений нет.
• При $\frac{3}{4}⩽a<1$ решение одно: на участке $\left[0;\frac{2}{3}\right)$; два других участка принимают только значения не меньше $1$, причём $t>1$ даёт значения строго больше $1$.
• При $a=1$ решений два: одно на участке $\left(0;\frac{2}{3}\right)$ и $t=1$.
• При $1<a<\frac{13}{12}$ решений три: по одному на $\left(0;\frac{2}{3}\right)$, на $\left(\frac{2}{3};1\right)$ и на $(1;+\infty )$.
• При $a=\frac{13}{12}$ решений два: $t=\frac{2}{3}$ и одно при $t>1$.
• При $a>\frac{13}{12}$ решение одно, при $t>1$.

Так как $t$ и $x$ связаны взаимно однозначно, столько же решений и у исходного уравнения. Та же картина видна и в исходной переменной — на графике $a=\sqrt{1-4x}+3|x|$ три участка монотонности соответствуют промежуткам $x<0$, $0⩽x⩽\frac{5}{36}$ и $\frac{5}{36}⩽x⩽\frac{1}{4}$:

Больше двух различных решений получается только при $1<a<\frac{13}{12}$.

Ответ: $a\in \left(1;\frac{13}{12}\right)$.