ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Рассмотрим функцию $f(x)=3\sin x+\cos x$ на отрезке $\left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right]$. Уравнение $f(x)=a$ имеет на отрезке ровно одно решение тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график $y=f(x)$ на этом отрезке ровно в одной точке. Поэтому нужно выяснить, как ведёт себя $f$ на отрезке.

Вспомогательный угол. Вынесем $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$:

$$f(x)=\sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{10}}\cos x\right)=\sqrt{10}\sin (x+\phi ),$$

где $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}$, $\phi \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Мы воспользовались формулой синуса суммы $\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi =\sin (x+\phi )$.

Оценим угол $\phi$: $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}<\frac{1}{2}$, так как $\sqrt{10}>2$. Синус возрастает на $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, поэтому $0<\phi <\frac{\pi }{6}$.

Монотонность. При $x\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right]$ аргумент $u=x+\phi$ пробегает отрезок $\left[\frac{\pi }{4}+\phi ;\frac{3\pi }{4}+\phi \right]$. Его левый конец меньше $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{12}<\frac{\pi }{2}$, а правый больше $\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$ и меньше $\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{12}<\pi$. Синус возрастает на $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ и убывает на $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$. Значит, $f$ возрастает на $\left[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}-\phi \right]$ и убывает на $\left[\frac{\pi }{2}-\phi ;\frac{3\pi }{4}\right]$, а в точке $x_0=\frac{\pi }{2}-\phi$ достигает наибольшего значения:

$$f(x_0)=\sqrt{10}\sin \frac{\pi }{2}=\sqrt{10}.$$

Значения на концах отрезка.

$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$$

Итак, $\sqrt{2}<2\sqrt{2}<\sqrt{10}$: левый конец графика выше правого.

Подсчёт решений. На участке возрастания $\left[\frac{\pi }{4};x_0\right]$ функция принимает каждое значение из отрезка $\left[2\sqrt{2};\sqrt{10}\right]$ ровно один раз. На участке убывания $\left(x_0;\frac{3\pi }{4}\right]$ — каждое значение из промежутка $\left[\sqrt{2};\sqrt{10}\right)$ ровно один раз. Поэтому:

• при $a<\sqrt{2}$ и при $a>\sqrt{10}$ решений нет;
• при $\sqrt{2}⩽a<2\sqrt{2}$ решение одно — на участке убывания;
• при $2\sqrt{2}⩽a<\sqrt{10}$ решений два — по одному на каждом участке (при $a=2\sqrt{2}$ одно из них $x=\frac{\pi }{4}$);
• при $a=\sqrt{10}$ решение одно — $x=x_0$.

Ответ: $a\in \left[\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)\cup \left\{\sqrt{10}\right\}$.