ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Перенесём слагаемые так, чтобы логарифм остался один:

$$3{\log }_3\left(12x^2+3\right)=2a-a^2+2|x-a|-3|x|.$$

Обозначим $f(x)=3{\log }_3\left(12x^2+3\right)$ и $g(x)=2a-a^2+2|x-a|-3|x|$. Уравнение имеет вид $f(x)=g(x)$; обе функции определены и непрерывны на всей прямой.

Оценка $f(x)$. При любом $x$ имеем $12x^2+3⩾3$, причём равенство только при $x=0$. Логарифм по основанию $3$ возрастает, поэтому

$$f(x)⩾3{\log }_{3}3=3,f(0)=3.$$

Монотонность $g(x)$. Поведение $g$ определяет слагаемое $-3|x|$: его коэффициент по модулю больше, чем у $2|x-a|$.

При $x⩾0$ имеем $-3|x|=-3x$, а $2|x-a|=\pm 2(x-a)$. На каждом участке, где знак модуля фиксирован, $g(x)$ — линейная функция с угловым коэффициентом $-3+2=-1$ или $-3-2=-5$. Оба отрицательны, а функция непрерывна, поэтому $g$ строго убывает на $[0;+\infty )$, причём не медленнее, чем $-x$: $g(x)⩽g(0)-x$.

При $x⩽0$ имеем $-3|x|=3x$, и угловые коэффициенты равны $3+2=5$ или $3-2=1$. Оба положительны, поэтому $g$ строго возрастает на $(-\infty ;0]$.

Значит, наибольшее значение $g$ принимает в точке $x=0$:

$$g(x)⩽g(0)=2a-a^2+2|a|.$$

Когда корень существует. Если $g(0)<3$, то при любом $x$

$$g(x)⩽g(0)<3⩽f(x),$$

и корней нет. Если $g(0)⩾3$, то в точке $x=0$ разность $f(x)-g(x)$ равна $3-g(0)⩽0$. При $x⩾0$ имеем $f(x)-g(x)⩾3-g(0)+x$, и при $x>g(0)-3$ разность положительна. Непрерывная функция, которая меняет знак (или обращается в ноль) на отрезке, имеет на нём корень. Итак, уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

$$2a-a^2+2|a|⩾3.$$

Решаем неравенство. Раскроем модуль.

При $a<0$: $|a|=-a$, получаем $2a-a^2-2a⩾3$, то есть $a^2+3⩽0$ — решений нет.

При $a⩾0$: $|a|=a$, получаем $4a-a^2⩾3$, то есть

$$a^2-4a+3⩽0;(a-1)(a-3)⩽0.$$

Отсюда $1⩽a⩽3$; все эти значения удовлетворяют условию $a⩾0$.

Ответ: $a\in [1;3]$.