ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Ограничения и равносильный переход. Логарифмы определены при $36-y^2>0$ и $36-a^2{x}^2>0$. Логарифм по основанию $7$ — строго возрастающая функция, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов при условии, что они положительны. Если аргументы равны, достаточно потребовать положительность одного из них. Система равносильна такой:

$$\{\begin{array}{l}{y}^2=a^2{x}^2,\\ 36-y^2>0,\\ x^2+y^2=2x+6y.\end{array}$$

Первое уравнение означает $y=ax$ или $y=-ax$, неравенство — $-6<y<6$.

Окружность. Выделим полные квадраты во втором уравнении: $x^2-2x+y^2-6y=0$, то есть

$$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=10.$$

Это окружность с центром $(1;3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Она проходит через начало координат $O(0;0)$.

Прямая $y=kx$ и окружность. Сначала найдём общие точки окружности с произвольной прямой $y=kx$ (потом подставим $k=a$ и $k=-a$). Подставим $y=kx$ в уравнение $x^2+y^2=2x+6y$:

$$x^2+k^2{x}^2=2x+6kx;x\left(\left(1+k^2\right)x-(2+6k)\right)=0.$$

Получаем точку $O(0;0)$ и точку $M_k$ с координатами

$$x=\frac{2+6k}{1+k^2},y=kx=\frac{2k+6k^2}{1+k^2}.$$

Точка $M_k$ совпадает с $O$, когда $2+6k=0$, то есть $k=-\frac{1}{3}$. Геометрически это касание: радиус, проведённый в точку $O$, имеет направление $(1;3)$, и касательная в $O$ — прямая $x+3y=0$, то есть $y=-\frac{1}{3}x$.

**Условие $-6<y<6$.** Точка $O$ ему удовлетворяет, поэтому $(0;0)$ — решение системы при любом $a$. Для точки $M_k$ умножим неравенства на $1+k^2>0$:

$$\frac{2k+6k^2}{1+k^2}<6\iff 2k+6k^2<6+6k^2\iff k<3;$$

$$\frac{2k+6k^2}{1+k^2}>-6\iff 12k^2+2k+6>0.$$

Последнее верно при всех $k$: дискриминант $4-288<0$. При $k=3$ точка $M_3=(2;6)$ лежит на прямой $y=6$ и не подходит.

Итак, прямая $y=kx$ даёт решение $M_k$, отличное от $O$, тогда и только тогда, когда $k<3$ и $k\ne -\frac{1}{3}$.

Подсчёт решений.

$a=0$. Обе прямые $y=\pm ax$ совпадают с осью $y=0$, $k=0$. Решения: $O(0;0)$ и $M_0=(2;0)$ — ровно два. Значение подходит.

$a\ne 0$. Прямые $y=ax$ и $y=-ax$ различны и пересекаются только в точке $O$. Поэтому их точки $M_a$ и $M_{-a}$, если они отличны от $O$, различны. Решений получается $1$ (точка $O$) плюс по одному от каждой прямой:

• прямая $y=ax$ даёт решение, если $a<3$ и $a\ne -\frac{1}{3}$;
• прямая $y=-ax$ даёт решение, если $-a<3$ и $-a\ne -\frac{1}{3}$, то есть $a>-3$ и $a\ne \frac{1}{3}$.

Ровно два решения — когда ровно одна из прямых даёт решение.

При $a⩾3$ первая прямая решения не даёт, а вторая даёт ($a>-3$, $a\ne \frac{1}{3}$): решений два.

При $a⩽-3$ первая даёт ($a<3$, $a\ne -\frac{1}{3}$), вторая нет: решений два.

При $-3<a<3$, $a\ne 0$, обе прямые дают решение, кроме двух значений: при $a=-\frac{1}{3}$ первая прямая касается окружности, а при $a=\frac{1}{3}$ касается вторая. В этих двух случаях решений два, в остальных — три.

Ответ: $a\in (-\infty ;-3]\cup \left\{-\frac{1}{3};0;\frac{1}{3}\right\}\cup [3;+\infty )$.