ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{A}=B$ равносильно системе $A=B^2$, $B⩾0$: арифметический корень неотрицателен, а при $A=B^2$ подкоренное выражение автоматически неотрицательно. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}4x^4+10x^3+3x^2-2a{x}^2+a^2={\left(2x^2+3x-a\right)}^2,\\ 2x^2+3x-a⩾0.\end{array}$$

Раскроем квадрат в правой части:

$${\left(2x^2+3x-a\right)}^2=4x^4+12x^3+9x^2-4a{x}^2-6ax+a^2.$$

Перенесём всё в одну часть, слагаемые $4x^4$ и $a^2$ сократятся:

$$2x^3+6x^2-2a{x}^2-6ax=0;2x\left(x^2+3x-ax-3a\right)=0.$$

Сгруппируем: $x^2+3x-ax-3a=x(x+3)-a(x+3)=(x+3)(x-a)$. Получаем

$$x(x+3)(x-a)=0;x=0,x=-3,x=a.$$

Исходное уравнение имеет ровно три различных корня тогда и только тогда, когда все три числа $0$, $-3$, $a$ различны и каждое удовлетворяет неравенству $2x^2+3x-a⩾0$. Различность означает $a\ne 0$ и $a\ne -3$. Проверим неравенство для каждого корня.

$x=0$: $-a⩾0$, то есть $a⩽0$.

$x=-3$: $2\cdot 9-9-a⩾0$, то есть $a⩽9$.

$x=a$: $2a^2+3a-a⩾0$, то есть $2a(a+1)⩾0$. Решим методом интервалов:

Отсюда $a⩽-1$ или $a⩾0$.

Пересечём все условия. Из $a⩽0$ и $a(a+1)⩾0$ получаем $a⩽-1$ или $a=0$; условие $a⩽9$ при этом выполнено. Значение $a=0$ исключаем (корни $0$ и $a$ совпадают), значение $a=-3$ тоже (совпадают корни $-3$ и $a$, остаётся два корня).

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;-1]$.