ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений: $x\ne 0$. Сделаем замену $t=x-\frac{4}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{t}^2+t-49a+14=0.(1)$$

Сколько значений $x$ даёт одно значение $t$. Умножим равенство $x-\frac{4}{x}=t$ на $x\ne 0$:

$$x^2-tx-4=0.$$

Его дискриминант $t^2+16>0$ при любом $t$, поэтому корней два и они различны. Произведение корней по теореме Виета равно $-4\ne 0$, значит, ни один из них не равен нулю — оба подходят. Кроме того, каждое $x$ определяет единственное $t=x-\frac{4}{x}$, поэтому разным значениям $t$ соответствуют разные $x$.

Следовательно, число корней исходного уравнения ровно вдвое больше числа различных корней уравнения $(1)$. Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение $(1)$ имеет ровно один корень.

Случай $a=0$. Уравнение $(1)$ становится линейным: $t+14=0$, $t=-14$ — корень один. Тогда $x^2+14x-4=0$, и исходное уравнение действительно имеет два корня. Значение $a=0$ подходит.

Случай $a\ne 0$. Уравнение $(1)$ квадратное, и ровно один корень у него будет, когда дискриминант равен нулю:

$$D=1^2-4a(14-49a)=196a^2-56a+1=0.$$

Решим это уравнение относительно $a$:

$$a=\frac{56\pm \sqrt{56^2-4\cdot 196}}{2\cdot 196}=\frac{56\pm \sqrt{2352}}{392}=\frac{56\pm 28\sqrt{3}}{392}=\frac{2\pm \sqrt{3}}{14}.$$

Здесь $\sqrt{2352}=\sqrt{784\cdot 3}=28\sqrt{3}$. Оба значения отличны от нуля, поэтому подходят. При них уравнение $(1)$ имеет единственный корень $t=-\frac{1}{2a}$, которому соответствуют два корня $x$.

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{2-\sqrt{3}}{14};\frac{2+\sqrt{3}}{14}\right\}$.