ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Корень $\sqrt{x+y+6}$ определён при $x+y+6⩾0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю, а оба множителя при этом имеют смысл. Поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x+y+6=0,\\ \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+6x=0,\\ x+y+6⩾0.\end{array}\end{array}$$

Решим задачу графически на плоскости $(x;y)$.

Прямая. Уравнение $x+y+6=0$ задаёт прямую $\ell$: $y=-x-6$. Все её точки подходят: на ней подкоренное выражение равно нулю, корень определён и равен нулю.

Дуга окружности. Выделим полный квадрат: $x^2+6x+y^2=0$ равносильно

$$(x+3{)}^2+y^2=9.$$

Это окружность с центром $C(-3;0)$ и радиусом $3$. Из неё оставляем точки, где $x+y+6⩾0$, то есть лежащие на прямой $\ell$ или выше неё.

Найдём общие точки окружности и прямой $\ell$. Подставим $y=-x-6$:

$$(x+3{)}^2+(x+6{)}^2=9;2x^2+18x+36=0;x^2+9x+18=0;x=-6\text{или}x=-3.$$

Получаем точки $P(-6;0)$ и $Q(-3;-3)$. Хорда $PQ$ делит окружность на две дуги. Центр удовлетворяет условию: $-3+0+6=3>0$, поэтому остаётся большая дуга $PQ$ — та, что лежит по одну сторону от $\ell$ с центром, — вместе с концами $P$ и $Q$. Малая дуга без концов выбрасывается.

Второе уравнение. Уравнение $y=x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $1$. Число решений системы равно числу общих точек прямой $y=x+a$ с множеством, составленным из прямой $\ell$ и большой дуги.

Общая точка с прямой $\ell$. Угловые коэффициенты $1$ и $-1$ различны, поэтому общая точка ровно одна при любом $a$: из $x+a=-x-6$ получаем $x=-\frac{a+6}{2}$.

Общие точки с окружностью. Подставим $y=x+a$ в уравнение окружности:

$$(x+3{)}^2+(x+a{)}^2=9;2x^2+2(a+3)x+a^2=0.$$

Найдём четверть дискриминанта:

$$\frac{D}{4}=(a+3{)}^2-2a^2=-a^2+6a+9.$$

Прямая касается окружности при $\frac{D}{4}=0$, то есть при $a^2-6a-9=0$, $a=3\pm 3\sqrt{2}$. Две общие точки с окружностью будут при $3-3\sqrt{2}<a<3+3\sqrt{2}$, а при остальных $a$ общих точек нет.

При $\frac{D}{4}⩾0$ корни квадратного уравнения равны

$$x_{1,2}=\frac{-(a+3)\mp \sqrt{D/4}}{2}.$$

Какие из этих точек лежат на большой дуге. Для точек прямой $y=x+a$ условие $x+y+6⩾0$ означает $2x+a+6⩾0$. Подставим корни:

$$2x_{1,2}+a+6=-(a+3)\mp \sqrt{D/4}+a+6=3\mp \sqrt{D/4}.$$

Для большего корня $x_2$ получаем $3+\sqrt{D/4}>0$ — эта точка всегда лежит на большой дуге. Для меньшего корня $x_1$ условие $3-\sqrt{D/4}⩾0$ равносильно $\frac{D}{4}⩽9$:

$$-a^2+6a+9⩽9;a(a-6)⩾0;a⩽0\text{или}a⩾6.$$

При $0<a<6$ точка $x_1$ попадает на выброшенную малую дугу. Равенство $3-\sqrt{D/4}=0$, то есть $a=0$ или $a=6$, означает, что точка лежит на прямой $\ell$: это точки $Q$ и $P$. Действительно, прямая $y=x+a$ проходит через $Q(-3;-3)$ при $-3=-3+a$, $a=0$, и через $P(-6;0)$ при $0=-6+a$, $a=6$.

Точки касания: при $\frac{D}{4}=0$ имеем $x=-\frac{a+3}{2}$, $y=x+a=\frac{a-3}{2}$, откуда $x+y+6=3>0$. Обе точки касания лежат на большой дуге и не лежат на $\ell$.

Подсчёт решений. Точка на $\ell$ совпадает с точкой на дуге только тогда, когда это $P$ или $Q$, то есть при $a=6$ или $a=0$. Учитывая это, получаем:

• $a<3-3\sqrt{2}$ или $a>3+3\sqrt{2}$: только точка на $\ell$ — одно решение;
• $a=3\pm 3\sqrt{2}$: точка касания и точка на $\ell$ — два решения;
• $3-3\sqrt{2}<a<0$: обе точки пересечения лежат на большой дуге, плюс точка на $\ell$ — три решения;
• $a=0$: на дуге точки $(0;0)$ и $Q$, а точка на $\ell$ — это та же $Q$ — два решения;
• $0<a<6$: одна точка на большой дуге и одна на $\ell$ — два решения;
• $a=6$: на дуге точки $(-3;3)$ и $P$, точка на $\ell$ — та же $P$ — два решения;
• $6<a<3+3\sqrt{2}$: три решения.

Здесь $3-3\sqrt{2}\approx -1,24<0$ и $3+3\sqrt{2}\approx 7,24>6$, так что промежутки расположены именно в таком порядке. На рисунке пунктиром показаны четыре граничных положения прямой.

Ровно два решения система имеет при $a=3-3\sqrt{2}$, при $0⩽a⩽6$ и при $a=3+3\sqrt{2}$.

Ответ: $a\in \left\{3-3\sqrt{2}\right\}\cup [0;6]\cup \left\{3+3\sqrt{2}\right\}$.