ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически. Обозначим $f(x)=\sqrt{1-2x}$ и $g(x)=a-7|x|$. Корни уравнения — это абсциссы общих точек графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Значит, нужно найти все $a$, при которых графики имеют больше двух общих точек.

График $y=f(x)$. Корень определён при $1-2x⩾0$, то есть при $x⩽\frac{1}{2}$. С ростом $x$ подкоренное выражение уменьшается, поэтому функция убывает. График начинается в точке $\left(\frac{1}{2};0\right)$ и пересекает ось ординат в точке $(0;1)$, так как $f(0)=1$. От параметра этот график не зависит.

График $y=g(x)$. При $x⩾0$ имеем $g(x)=a-7x$, при $x<0$ имеем $g(x)=a+7x$. Это «галочка» ветвями вниз с вершиной $(0;a)$, угловые коэффициенты её ветвей равны $7$ и $-7$. При изменении $a$ галочка сдвигается вверх или вниз, не меняя формы.

Рассмотрим отдельно левую ветвь ($x<0$) и правую ветвь ($0⩽x⩽\frac{1}{2}$).

Левая ветвь. При $x<0$ функция $g(x)=a+7x$ возрастает, а $f(x)$ убывает. Поэтому разность

$$f(x)-g(x)=\sqrt{1-2x}-7x-a$$

строго убывает на промежутке $(-\infty ;0)$. При $x\to -\infty$ она неограниченно растёт, а при $x\to 0$ стремится к $f(0)-g(0)=1-a$. Непрерывная строго убывающая функция принимает каждое значение из промежутка $(1-a;+\infty )$ ровно один раз. Значит, ноль у неё есть (и только один) тогда и только тогда, когда $1-a<0$. Итак, левая ветвь даёт ровно один корень при $a>1$ и ни одного при $a⩽1$.

Правая ветвь: граничные положения. Найдём особые положения луча $y=a-7x$, $x⩾0$.

Положение I: вершина галочки попадает в точку $(0;1)$, то есть $a=1$.

Положение II: правая ветвь проходит через конец графика корня — точку $\left(\frac{1}{2};0\right)$:

$$a-7\cdot \frac{1}{2}=0;a=\frac{7}{2}.$$

Положение III: правая ветвь касается графика корня. Общие точки прямой $y=a-7x$ и графика корня находятся из уравнения $\sqrt{1-2x}=a-7x$. При условии $a-7x⩾0$ обе части неотрицательны, и уравнение можно возвести в квадрат:

$$1-2x=a^2-14ax+49x^2;49x^2-(14a-2)x+a^2-1=0.$$

При касании это квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(14a-2{)}^2-4\cdot 49\cdot \left(a^2-1\right)=196a^2-56a+4-196a^2+196=200-56a;$$

$$200-56a=0;a=\frac{200}{56}=\frac{25}{7}.$$

Тогда точка касания $x=\frac{14a-2}{2\cdot 49}=\frac{48}{98}=\frac{24}{49}$. Она лежит между $0$ и $\frac{1}{2}$, а $a-7x=\frac{25}{7}-\frac{24}{7}=\frac{1}{7}>0$. Значит, касание действительно происходит на правой ветви, в точке $\left(\frac{24}{49};\frac{1}{7}\right)$.

Сравним найденные значения: $\frac{7}{2}=\frac{49}{14}$, $\frac{25}{7}=\frac{50}{14}$, поэтому $1<\frac{7}{2}<\frac{25}{7}$. При подъёме галочка сначала проходит положение I, затем II и затем III. Положения II и III отличаются всего на $\frac{1}{14}$ и на рисунке почти сливаются, поэтому на нём показаны положения I и II (галочки нарисованы на отрезке $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$).

Правая ветвь: подсчёт точек. Обоснуем подсчёт строго. При $0⩽x⩽\frac{1}{2}$ уравнение можно записать в виде $\sqrt{1-2x}+7x=a$. Рассмотрим функцию $\phi (x)=\sqrt{1-2x}+7x$ на отрезке $\left[0;\frac{1}{2}\right]$. Её производная

$${\phi }^{\prime }(x)=7-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$$

положительна при $\sqrt{1-2x}>\frac{1}{7}$, то есть при $x<\frac{24}{49}$, и отрицательна при $\frac{24}{49}<x<\frac{1}{2}$. Значит, $\phi$ возрастает на $\left[0;\frac{24}{49}\right]$ от $\phi (0)=1$ до $\phi \left(\frac{24}{49}\right)=\frac{1}{7}+\frac{24}{7}=\frac{25}{7}$ и убывает на $\left[\frac{24}{49};\frac{1}{2}\right]$ от $\frac{25}{7}$ до $\phi \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{2}$. На каждом участке функция строго монотонна и каждое своё значение принимает ровно один раз. Отсюда число корней на отрезке $\left[0;\frac{1}{2}\right]$:

• при $a<1$ и при $a>\frac{25}{7}$ — ни одного;
• при $1⩽a<\frac{7}{2}$ — один, на участке возрастания (при $a=1$ это $x=0$);
• при $\frac{7}{2}⩽a<\frac{25}{7}$ — два, по одному на каждом участке;
• при $a=\frac{25}{7}$ — один, $x=\frac{24}{49}$.

Это и есть картина с рисунка: до положения I общих точек нет, между I и II правая ветвь пересекает график корня один раз, от II до III — два раза, в положении III касается, а выше проходит над графиком.

Итог. Корни левой и правой ветвей различны, так как лежат в непересекающихся промежутках $x<0$ и $x⩾0$. Складываем:

• $a<1$: корней нет;
• $a=1$: $0+1=1$ корень;
• $1<a<\frac{7}{2}$: $1+1=2$ корня;
• $\frac{7}{2}⩽a<\frac{25}{7}$: $1+2=3$ корня;
• $a=\frac{25}{7}$: $1+1=2$ корня;
• $a>\frac{25}{7}$: $1+0=1$ корень.

Больше двух корней получается только при $\frac{7}{2}⩽a<\frac{25}{7}$. Значение $a=\frac{7}{2}$ входит в ответ: корнями будут $x=\frac{1}{2}$, ещё один корень на правой ветви и один на левой. Значение $a=\frac{25}{7}$ не входит: два корня правой ветви сливаются в точку касания, и корней остаётся два.

Ответ: $a\in \left[\frac{7}{2};\frac{25}{7}\right)$.