ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Разбор — 4 балла

Перепишем первое неравенство в стандартном виде для круга:

$$(x+2a{)}^2+(y-a{)}^2⩽5-a.$$

Случай $a>5$. Левая часть неотрицательна, а правая отрицательна — решений нет.

Случай $a=5$. Неравенство принимает вид

$$(x+10{)}^2+(y-5{)}^2⩽0\iff \{\begin{array}{l}x=-10,\\ y=5.\end{array}$$

Проверим, что точка $(-10;5)$ удовлетворяет второму неравенству: $-10+5=-5⩽|5+2|=7$ — верно. Система имеет единственное решение, $a=5$ подходит.

**Случай $a<5$.** Первое неравенство задаёт круг $K$ с центром $C(-2a;a)$ и радиусом $R=\sqrt{5-a}>0$. Второе неравенство $x+y⩽|a+2|$ задаёт полуплоскость $\Pi$ под прямой $\ell$: $x+y=|a+2|$ вместе с самой прямой.

Решения системы — это общие точки $K$ и $\Pi$. Выясним, когда такая точка одна.

• Если прямая $\ell$ пересекает окружность в двух точках, то от круга по каждую сторону от $\ell$ отрезается часть ненулевой площади, и в $\Pi$ попадает бесконечно много точек круга.
• Если $\ell$ не имеет общих точек с кругом, то круг целиком лежит либо в $\Pi$ (бесконечно много решений), либо вне $\Pi$ (решений нет).
• Если $\ell$ касается окружности, то круг лежит по одну сторону от $\ell$. Когда он лежит в $\Pi$, решений бесконечно много; когда по другую сторону — общая точка одна, точка касания.

Значит, при $a<5$ единственное решение возможно только тогда, когда $\ell$ касается окружности, а центр $C$ не лежит в $\Pi$.

Условие касания. Расстояние от точки $M(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C_0=0$ равно

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C_0|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Прямая $\ell$ записывается как $x+y-|a+2|=0$, центр — $(-2a;a)$, поэтому

$$d=\frac{|-2a+a-|a+2||}{\sqrt{2}}=\frac{|a+|a+2||}{\sqrt{2}}.$$

Касание означает $d=R$. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное уравнение:

$$\frac{(a+|a+2|{)}^2}{2}=5-a\iff (a+|a+2|{)}^2=10-2a.$$

Раскроем модуль.

При $-2⩽a<5$ имеем $|a+2|=a+2$:

$$(2a+2{)}^2=10-2a\iff 4a^2+10a-6=0\iff 2a^2+5a-3=0.$$

$D=25+24=49$, $a=\frac{-5\pm 7}{4}$, то есть $a=\frac{1}{2}$ или $a=-3$. Условию $-2⩽a<5$ удовлетворяет только $a=\frac{1}{2}$.

При $a<-2$ имеем $|a+2|=-a-2$, и $a+|a+2|=-2$:

$$4=10-2a\iff a=3,$$

что противоречит условию $a<-2$.

Итак, при $a<5$ касание бывает только при $a=\frac{1}{2}$. Проверим, по какую сторону от $\ell$ лежит центр $C\left(-1;\frac{1}{2}\right)$:

$$x+y=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}⩽\left|\frac{1}{2}+2\right|=\frac{5}{2}.$$

Центр лежит в $\Pi$, значит, весь круг лежит в $\Pi$, и система имеет бесконечно много решений. Значение $a=\frac{1}{2}$ не подходит.

Таким образом, единственное решение система имеет только при $a=5$.

Ответ: $a=5$.