ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Решим задачу графически в плоскости $(x;y)$: построим графики левой и правой частей уравнения.

Левая часть. Парабола $y=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ имеет ветви вверх, корни $1$ и $3$ и вершину

$$x_{\text{в}}=\frac{4}{2}=2,y_{\text{в}}=4-8+3=-1.$$

Часть параболы, лежащую ниже оси $Ox$ (при $1<x<3$), отражаем симметрично относительно $Ox$. Получаем график $y=|x^2-4x+3|$: при $x⩽1$ и $x⩾3$ это $y=x^2-4x+3$, а на отрезке $[1;3]$ — «шапка» $y=-x^2+4x-3$ с вершиной $(2;1)$.

Правая часть $y=ax+2$ задаёт пучок прямых, проходящих через точку $P(0;2)$ (все невертикальные прямые через $P$).

Обозначим $h(x)=|x^2-4x+3|-(ax+2)$. Корни уравнения — нули функции $h$. Она непрерывна, $h(0)=3-2=1>0$, и $h(x)\to +\infty$ при $x\to \pm \infty$, так как слагаемое $x^2$ растёт быстрее линейного.

Заметим: если в какой-то точке $x_0$ прямая лежит выше графика, то есть $h(x_0)<0$, то корней не меньше двух. Действительно, при $x_0>0$ функция меняет знак на $(0;x_0)$ и на $(x_0;+\infty )$, а при $x_0<0$ — на $(-\infty ;x_0)$ и на $(x_0;0)$.

Значит, при единственном корне $x^{\ast }$ прямая нигде не выше графика: $h(x)⩾0$ при всех $x$ и $h(x^{\ast })=0$. Где может лежать $x^{\ast }$?

• В изломе графика $x^{\ast }=1$ или $x^{\ast }=3$ — тогда прямая проходит через точку $(1;0)$ или $(3;0)$.
• Внутри одного из гладких кусков. Там $h(x)$ — квадратный трёхчлен, он обращается в ноль в точке $x^{\ast }$ и не меняет в ней знак, значит, $x^{\ast }$ — его двойной корень: прямая касается этого куска.

Найдём все такие положения прямой.

1. Через $(1;0)$: $0=a+2$, $a=-2$. Через $(3;0)$: $0=3a+2$, $a=-\frac{2}{3}$.

2. Касание параболы $y=x^2-4x+3$ на участке $x⩽1$ или $x⩾3$:

$$x^2-4x+3=ax+2\iff x^2-(a+4)x+1=0,$$

$$D=(a+4{)}^2-4=(a+2)(a+6)=0\iff a=-2\text{или}a=-6.$$

Абсцисса точки касания $x=\frac{a+4}{2}$: при $a=-2$ это $x=1$, при $a=-6$ это $x=-1$. Обе точки лежат на участке $x⩽1$ — касание с нашим графиком.

3. Касание шапки $y=-x^2+4x-3$ при $1<x<3$:

$$-x^2+4x-3=ax+2\iff x^2+(a-4)x+5=0,$$

$$D=(a-4{)}^2-20=0\iff a=4\pm 2\sqrt{5}.$$

Абсцисса точки касания $x=\frac{4-a}{2}=\mp \sqrt{5}$. При $a=4+2\sqrt{5}$ получаем $x=-\sqrt{5}\notin (1;3)$: прямая касается продолжения шапки, которого на графике нет. При $a=4-2\sqrt{5}$ получаем $x=\sqrt{5}\in (1;3)$ — это касание шапки.

На рисунке отмечены граничные положения прямой: I — $a=-6$, II — $a=-2$, III — $a=4-2\sqrt{5}$, IV — $a=-\frac{2}{3}$.

Проверим каждое из найденных значений.

$a=-6$ (положение I). При $x⩽1$ и $x⩾3$:

$$h(x)=x^2-4x+3+6x-2=(x+1{)}^2⩾0,$$

ноль только при $x=-1$. При $1<x<3$ график положителен, а прямая $y=-6x+2<-4$ отрицательна, поэтому $h(x)>0$. Корень единственный: $x=-1$. Подходит.

$a=-2$ (положение II). При $x⩽1$ и $x⩾3$:

$$h(x)=x^2-4x+3+2x-2=(x-1{)}^2⩾0,$$

ноль только при $x=1$. При $1<x<3$ график положителен, а $-2x+2<0$, поэтому $h(x)>0$. Корень единственный: $x=1$. Подходит.

$a=4-2\sqrt{5}$ (положение III). Найдём $h(1)=0-\left(4-2\sqrt{5}\right)-2=2\sqrt{5}-6<0$, так как $2\sqrt{5}=\sqrt{20}<\sqrt{36}=6$. Прямая в точке $x=1$ лежит выше графика, и по доказанному корней не меньше двух. Не подходит.

$a=-\frac{2}{3}$ (положение IV). Прямая проходит через $(3;0)$, но пересекает и шапку:

$$-x^2+4x-3=-\frac{2}{3}x+2\iff 3x^2-14x+15=0\iff x=3\text{или}x=\frac{5}{3},$$

и $\frac{5}{3}\in (1;3)$ — это ещё один корень. Не подходит.

При всех остальных $a$ прямая либо где-то выше графика (тогда корней не меньше двух), либо всюду ниже него (тогда корней нет). Значит, уравнение имеет единственное решение только при $a=-6$ и $a=-2$.

Ответ: $a\in \{-6;-2\}$.