ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Выпишем ОДЗ уравнения:

$$\{\begin{array}{l}5x-7⩾0,\\ x^2-6x+10-a^2>0.\end{array}$$

Удобно записать $x^2-6x+10-a^2=(x-3{)}^2+1-a^2$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Найдём кандидатов в корни:

$$\sqrt{5x-7}=0\iff x_1=\frac{7}{5};$$

$$\ln \left(x^2-6x+10-a^2\right)=0\iff (x-3{)}^2+1-a^2=1\iff (x-3-a)(x-3+a)=0\iff x_2=3+a,x_3=3-a.$$

Назовём кандидата хорошим, если он удовлетворяет ОДЗ и принадлежит отрезку $[0;3]$. Из первого условия ОДЗ $x⩾\frac{7}{5}$, поэтому вместе с отрезком получаем $\frac{7}{5}⩽x⩽3$.

Кандидат $x_1=\frac{7}{5}$. Он лежит на отрезке, первое условие ОДЗ для него обращается в $0⩾0$. Проверим второе:

$${\left(\frac{7}{5}-3\right)}^2+1-a^2>0\iff \frac{64}{25}+1>a^2\iff a^2<\frac{89}{25}\iff -\frac{\sqrt{89}}{5}<a<\frac{\sqrt{89}}{5}.$$

Кандидат $x_2=3+a$. Он является корнем уравнения $x^2-6x+10-a^2=1$, поэтому аргумент логарифма равен $1>0$ и второе условие ОДЗ выполнено автоматически. Остаётся условие $\frac{7}{5}⩽x_2⩽3$:

$$\frac{7}{5}⩽3+a⩽3\iff -\frac{8}{5}⩽a⩽0.$$

Кандидат $x_3=3-a$. Аналогично второе условие ОДЗ выполнено, и

$$\frac{7}{5}⩽3-a⩽3\iff 0⩽a⩽\frac{8}{5}.$$

Так как $\sqrt{89}>8$, на оси $a$ точки идут в порядке $-\frac{\sqrt{89}}{5}<-\frac{8}{5}<0<\frac{8}{5}<\frac{\sqrt{89}}{5}$. Изобразим на одной оси множества значений $a$, при которых каждый кандидат хороший, пока считая кандидатов различными:

Ровно один хороший кандидат (над точкой ровно одна «крыша») получается при

$$a\in \left(-\frac{\sqrt{89}}{5};-\frac{8}{5}\right)\cup \left(\frac{8}{5};\frac{\sqrt{89}}{5}\right).$$

Там хороший только $x_1$. При $-\frac{8}{5}<a<0$ хорошие $x_1$ и $x_2$, при $0<a<\frac{8}{5}$ — $x_1$ и $x_3$, и в обоих случаях эти кандидаты различны (совпадения бывают лишь при значениях, разобранных ниже), то есть корней два. При $|a|⩾\frac{\sqrt{89}}{5}$ хороших кандидатов нет.

Теперь разберём значения $a$, при которых кандидаты совпадают.

1. $x_1=x_2$: $\frac{7}{5}=3+a$, $a=-\frac{8}{5}$. Тогда $x_1=x_2=\frac{7}{5}$ — хороший, а $x_3=\frac{23}{5}>3$ — плохой. Один корень — подходит.

2. $x_1=x_3$: $\frac{7}{5}=3-a$, $a=\frac{8}{5}$. Тогда $x_1=x_3=\frac{7}{5}$ — хороший, а $x_2=\frac{23}{5}>3$ — плохой. Один корень — подходит.

3. $x_2=x_3$: $3+a=3-a$, $a=0$. Тогда все три кандидата хорошие, но $x_2=x_3=3\ne x_1$, поэтому корней два — не подходит.

Совпадение всех трёх кандидатов невозможно, так как попарно они совпадают при разных $a$.

Объединяя случаи, получаем:

Ответ: $a\in \left(-\frac{\sqrt{89}}{5};-\frac{8}{5}\right]\cup \left[\frac{8}{5};\frac{\sqrt{89}}{5}\right)$.