ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим

$$u=3+2|x+a|,v=7-x^2-2ax-2a^2=7-(x+a{)}^2-a^2.$$

Пусть $f(z)=z^3-z^2$. Тогда уравнение примет вид $f(u)=f(v)$.

Исследуем функцию $f$ с помощью производной:

$$f^{\prime }(z)=3z^2-2z=z(3z-2),f^{\prime }(z)=0\text{при}z=0\text{и}z=\frac{2}{3}.$$

Функция $f$ возрастает на $(-\infty ;0]$, убывает на $\left[0;\frac{2}{3}\right]$ и возрастает на $\left[\frac{2}{3};+\infty \right)$.

Оценим $u$. Так как $|x+a|⩾0$, имеем $u⩾3$. На луче $[3;+\infty )$ функция $f$ возрастает, поэтому

$$f(u)⩾f(3)=27-9=18>0.$$

Теперь заметим, что $f(z)=z^2(z-1)⩽0$ при $z⩽1$. Поэтому если $v⩽1$, то $f(v)⩽0<f(u)$, и равенство невозможно. Значит, у любого корня $v>1$.

На промежутке $(1;+\infty )$ функция $f$ строго возрастает (он содержится в $\left[\frac{2}{3};+\infty \right)$), поэтому разным аргументам из этого промежутка соответствуют разные значения. Оба числа $u$ и $v$ лежат в $(1;+\infty )$, и равенство $f(u)=f(v)$ возможно только при $u=v$. Обратно, из $u=v$ сразу следует $f(u)=f(v)$. Итак, исходное уравнение равносильно уравнению $u=v$:

$$3+2|x+a|=7-(x+a{)}^2-a^2.$$

Сделаем замену $p=|x+a|$, $p⩾0$. Так как $(x+a{)}^2=|x+a{|}^2=p^2$, получаем

$$p^2+2p+a^2-4=0\iff (p+1{)}^2=5-a^2.(\ast )$$

Каждый корень $p⩾0$ уравнения $(\ast )$ даёт корни $x=-a\pm p$ исходного уравнения. Значит, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда уравнение $(\ast )$ имеет хотя бы один неотрицательный корень.

При $5-a^2<0$ уравнение $(\ast )$ корней не имеет. При $5-a^2⩾0$ получаем $p+1=\pm \sqrt{5-a^2}$. Корень $p=-1-\sqrt{5-a^2}$ отрицателен и не подходит. Корень $p=\sqrt{5-a^2}-1$ неотрицателен, если

$$\sqrt{5-a^2}⩾1\iff 5-a^2⩾1\iff a^2⩽4\iff -2⩽a⩽2.$$

Этот же результат хорошо виден на плоскости $(p;a)$: уравнение $(\ast )$ задаёт окружность с центром $(-1;0)$ и радиусом $\sqrt{5}$, нам нужна её часть с $p⩾0$. Она пересекает ось $Oa$ в точках, где $1+a^2=5$, то есть $a=\pm 2$. Горизонтальная прямая $a=\mathrm{const}$ пересекает эту дугу при $-2⩽a⩽2$.

Ответ: $a\in [-2;2]$.