ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $t=|x-a-1|+|x-a+1|$. Тогда уравнение примет вид

$$t^2+at+a^2-16=0.(1)$$

Число корней исходного уравнения зависит от того, сколько корней $t$ имеет уравнение (1) и сколько значений $x$ соответствует каждому такому $t$. Поэтому сначала исследуем замену.

Нули подмодульных выражений: $x=a-1$ и $x=a+1$, причём $a-1<a+1$ при любом $a$.

При $x⩽a-1$ оба выражения неположительны:

$$t=-(x-a-1)-(x-a+1)=-2x+2a.$$

При $a-1<x<a+1$ первое выражение отрицательно, второе положительно:

$$t=-(x-a-1)+(x-a+1)=2.$$

При $x⩾a+1$ оба выражения неотрицательны:

$$t=(x-a-1)+(x-a+1)=2x-2a.$$

Построим график $t(x)$ в системе $Oxt$:

Из графика и формул видно:

• значения $t<2$ не принимаются;
• значение $t=2$ принимается во всех точках отрезка $[a-1;a+1]$, то есть бесконечно много раз;
• каждое значение $t>2$ принимается ровно в двух точках: $x=a-\frac{t}{2}$ на левом луче и $x=a+\frac{t}{2}$ на правом.

В одной точке $x$ замена принимает одно значение, поэтому разным $t$ соответствуют разные $x$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет ровно один корень, больший $2$, корня $t=2$ у него нет, а второй корень (если он есть) меньше $2$.

Обозначим $f(t)=t^2+at+a^2-16$ — парабола с ветвями вверх.

Случай 1: корни $f$ лежат по разные стороны от $2$, то есть $t_1<2<t_2$. Для параболы с ветвями вверх это равносильно условию $f(2)<0$:

$$f(2)=4+2a+a^2-16=a^2+2a-12<0.$$

Корни уравнения $a^2+2a-12=0$: $a=-1\pm \sqrt{13}$. Методом интервалов:

Получаем $-1-\sqrt{13}<a<-1+\sqrt{13}$. В этом случае корень $t_2>2$ даёт два значения $x$, а корень $t_1<2$ не даёт ни одного — ровно два корня.

Случай 2: $f(2)=0$. Тогда $t=2$ — корень уравнения (1), и исходное уравнение имеет бесконечно много корней. Не подходит.

Случай 3: $f(2)>0$. Тогда число $2$ не лежит между корнями и само корнем не является: либо корней нет, либо оба корня по одну сторону от $2$. Если оба корня меньше $2$, корней $x$ нет. Если два различных корня больше $2$, корней $x$ четыре. Остаётся единственная возможность — двойной корень $t_0>2$:

$$\{\begin{array}{l}D=a^2-4\left(a^2-16\right)=64-3a^2=0,\\ t_0=-\frac{a}{2}>2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\pm \frac{8}{\sqrt{3}},\\ a<-4.\end{array}$$

Так как $\frac{64}{3}>16$, то $\frac{8}{\sqrt{3}}>4$, и условию $a<-4$ удовлетворяет только $a=-\frac{8}{\sqrt{3}}$. Тогда $t_0=\frac{4}{\sqrt{3}}>2$, а $f(2)>0$, потому что парабола касается оси только в точке $t_0\ne 2$. Двойной корень даёт ровно два корня $x=a\pm \frac{t_0}{2}$ — подходит.

Сравним $-\frac{8}{\sqrt{3}}$ с левым концом промежутка из случая 1. Неравенство $\frac{8}{\sqrt{3}}>1+\sqrt{13}$ между положительными числами равносильно неравенству между их квадратами:

$$\frac{64}{3}>14+2\sqrt{13}\iff \frac{11}{3}>\sqrt{13}\iff \frac{121}{9}>13\iff 121>117.$$

Это верно, поэтому $-\frac{8}{\sqrt{3}}<-1-\sqrt{13}$, и найденная точка лежит левее промежутка.

Объединим случаи:

Ответ: $a\in \left\{-\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}\cup \left(-1-\sqrt{13};-1+\sqrt{13}\right)$.