ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $\cos x\ne 0$ — при этом условии определён $\mathrm{tg}x$.

Обозначим $A=2x+a+1+\mathrm{tg}x$ и $B=2x+a-1-\mathrm{tg}x$. Уравнение $A^2=B^2$ равносильно уравнению $(A-B)(A+B)=0$. Найдём множители:

$$A-B=2+2\mathrm{tg}x,A+B=4x+2a.$$

Получаем

$$(2\mathrm{tg}x+2)(4x+2a)=0\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=-1,\\ x=-\frac{a}{2},\end{array}\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

На отрезке $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ косинус равен нулю только в концах $x=\pm \frac{\pi }{2}$, поэтому корни могут лежать только в интервале $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Первая серия. $\mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. В интервал $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ попадает только $x=-\frac{\pi }{4}$. Это корень при любом $a$.

Второй корень. $x=-\frac{a}{2}$ является корнем на отрезке, если

$$-\frac{\pi }{2}<-\frac{a}{2}<\frac{\pi }{2}\iff -\pi <a<\pi .$$

При $a=\pm \pi$ получаем $x=\mp \frac{\pi }{2}$, где тангенс не определён, — это не корни.

Совпадение корней. $-\frac{a}{2}=-\frac{\pi }{4}$ при $a=\frac{\pi }{2}$.

Удобно изобразить все решения в плоскости $(x;a)$: это вертикальная прямая $x=-\frac{\pi }{4}$ и отрезок прямой $a=-2x$ при $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ без концов. Они пересекаются в точке $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$.

Подсчитаем число корней.

• $a⩽-\pi$ или $a⩾\pi$: корень $x=-\frac{a}{2}$ не подходит, остаётся только $x=-\frac{\pi }{4}$. Один корень — подходит.
• $-\pi <a<\pi$, $a\ne \frac{\pi }{2}$: два различных корня $-\frac{\pi }{4}$ и $-\frac{a}{2}$ — не подходит.
• $a=\frac{\pi }{2}$: оба корня совпадают, $x=-\frac{\pi }{4}$. Один корень — подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;-\pi ]\cup \left\{\frac{\pi }{2}\right\}\cup [\pi ;+\infty )$.