ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — рациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}9x^2-a^2=0,\\ x^2+8x+16-a^2\ne 0.\end{array}$$

Решим уравнение:

$$9x^2=a^2\iff x^2=\frac{a^2}{9}\iff x=\pm \frac{a}{3}.$$

Знаменатель — разность квадратов:

$$x^2+8x+16-a^2=(x+4{)}^2-a^2=(x+4-a)(x+4+a).$$

Он не равен нулю, когда $x\ne a-4$ и $x\ne -a-4$.

Числитель даёт не больше двух корней, поэтому ровно два корня будет тогда и только тогда, когда числа $\frac{a}{3}$ и $-\frac{a}{3}$ различны и ни одно из них не обращает знаменатель в ноль.

Числа $\pm \frac{a}{3}$ различны при $a\ne 0$. При $a=0$ числитель даёт один корень $x=0$ (знаменатель при этом равен $16\ne 0$), то есть уравнение имеет один корень.

Найдём, когда корень числителя совпадает с нулём знаменателя:

1. $\frac{a}{3}=a-4\iff a=3a-12\iff a=6$;

2. $\frac{a}{3}=-a-4\iff a=-3a-12\iff a=-3$;

3. $-\frac{a}{3}=a-4\iff -a=3a-12\iff a=3$;

4. $-\frac{a}{3}=-a-4\iff -a=-3a-12\iff a=-6$.

При каждом из этих значений выпадает ровно один корень числителя. Например, при $a=6$ корни числителя $\pm 2$, нули знаменателя $2$ и $-10$: корень $x=2$ выпадает, а $x=-2$ остаётся, то есть корень один. Два корня выпасть одновременно не могут, так как совпадения 1)–4) происходят при разных $a$. Значит, при $a\in \{-6;-3;3;6\}$ уравнение имеет ровно один корень — эти значения не подходят.

При всех остальных $a$ корни $\pm \frac{a}{3}$ различны и оба подходят:

Ответ: $a\in (-\infty ;-6)\cup (-6;-3)\cup (-3;0)\cup (0;3)\cup (3;6)\cup (6;+\infty )$.