Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Второе уравнение равносильно совокупности:
Поэтому исходная система равносильна совокупности двух систем:
Геометрически решения — это общие точки графика первого уравнения (при это парабола) с парой прямых и .
Множество решений исходной системы — объединение множеств решений систем (1) и (2). Общее решение этих систем должно удовлетворять и , и , то есть . Точка является решением, если , то есть только при .
В системе (1) подставим в первое уравнение:
Каждому корню соответствует ровно одно решение , поэтому система (1) имеет столько решений, сколько корней у уравнения (3). Аналогично для системы (2) получаем уравнение
Каждое из уравнений (3) и (4) имеет не больше двух корней. Значит, четыре решения будет тогда и только тогда, когда каждое из них имеет ровно два корня и системы не имеют общего решения.
Случай . Уравнения становятся линейными: и . Каждое имеет один корень, всего два решения — не подходит.
Случай . Уравнения квадратные, два корня у каждого будет при положительных дискриминантах:
При один из дискриминантов равен нулю, одна из систем имеет единственное решение, и всего решений не больше трёх — эти значения не подходят.
Осталось исключить , когда системы имеют общее решение . Действительно, при уравнение (3) принимает вид (корни и ), а уравнение (4) — вид (корни и ). Решения: , , — их три, не подходит.
Итак, , , :
Ответ: .