ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Ограничение из-за корня: $3-x⩾0$, то есть $x⩽3$. Разложим первый множитель на множители группировкой:

$$x{y}^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3).$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл. Множитель $\sqrt{3-x}$ обращается в ноль только при $x=3$. Поэтому первое уравнение системы равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=3,\\ \{\begin{array}{l}y=3,\\ x⩽3,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}xy=3,\\ x⩽3.\end{array}\end{array}$$

В плоскости $(x;y)$ это объединение трёх множеств:

• вертикальная прямая $x=3$ (целиком);
• луч $y=3$, $x⩽3$;
• часть гиперболы $y=\frac{3}{x}$ при $x⩽3$: вся левая ветвь и кусок правой ветви от бесконечности до точки $(3;1)$.

Второе уравнение $y=ax$ задаёт прямую, проходящую через начало координат (все такие прямые, кроме вертикальной). Начало координат само решением не является: при $x=y=0$ ни одно из условий совокупности не выполнено.

Найдём точки пересечения построенных линий: прямая $x=3$ и гипербола — $(3;1)$; прямая $y=3$ и гипербола — $(1;3)$; прямые $x=3$ и $y=3$ — $(3;3)$.

Посчитаем общие точки прямой $y=ax$ с каждой частью.

Прямая $x=3$. Общая точка $(3;3a)$ есть при любом $a$, и она одна.

Луч $y=3$, $x⩽3$. Из $ax=3$: при $a=0$ решений нет, при $a\ne 0$ получаем $x=\frac{3}{a}$. Условие $\frac{3}{a}⩽3$ выполнено при $a<0$ (левая часть отрицательна) и при $a⩾1$. При $a=1$ точка $(3;3)$ совпадает с точкой $(3;3a)$ на прямой $x=3$.

Гипербола при $x⩽3$. Из $x\cdot ax=3$ получаем $a{x}^2=3$. При $a⩽0$ решений нет. При $a>0$ имеем $x=\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$. Отрицательный корень условию $x⩽3$ удовлетворяет всегда. Положительный — при $\sqrt{\frac{3}{a}}⩽3$, то есть $\frac{3}{a}⩽9$, $a⩾\frac{1}{3}$. При $a=\frac{1}{3}$ это точка $(3;1)$, она совпадает с точкой $(3;3a)$.

Совпадение точек луча и гиперболы. Это возможно только в точке $(1;3)$, а прямая $y=ax$ проходит через неё при $a=3$.

Граничные положения прямой: $a=0$ (ось $Ox$), $a=\frac{1}{3}$ (через $(3;1)$), $a=1$ (через $(3;3)$) и $a=3$ (через $(1;3)$).

Подсчитаем число решений.

1. $a<0$: точки $(3;3a)$ и $\left(\frac{3}{a};3\right)$, у них разные абсциссы. Гипербола решений не даёт. Два решения.

2. $a=0$: только точка $(3;0)$. Одно решение.

3. $0<a<\frac{1}{3}$: точка $(3;3a)$; на луче решений нет, так как $\frac{3}{a}>9>3$; на гиперболе подходит только отрицательный корень. Два решения.

4. $a=\frac{1}{3}$: точка $(3;1)$; на гиперболе $x=\pm 3$, точка $(3;1)$ та же, плюс точка $(-3;-1)$; на луче $x=9>3$ — не подходит. Два решения.

5. $\frac{1}{3}<a<1$: точка $(3;3a)$; на луче решений нет ($\frac{3}{a}>3$); на гиперболе две точки с абсциссами $\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$, причём $\sqrt{\frac{3}{a}}<3$, так что они отличны от $(3;3a)$. Три решения — подходит.

6. $a=1$: точка $(3;3)$, на луче та же точка $(3;3)$, на гиперболе точки $\left(\sqrt{3};\sqrt{3}\right)$ и $\left(-\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)$. Три решения — подходит.

7. $a>1$, $a\ne 3$: точка $(3;3a)$, точка луча $\left(\frac{3}{a};3\right)$ с $\frac{3}{a}<3$ и две точки гиперболы с абсциссами $\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$, где $\sqrt{\frac{3}{a}}<\sqrt{3}<3$. Точка луча совпадает с точкой гиперболы только при $a=3$, остальные точки различны по абсциссам. Четыре решения.

8. $a=3$: точка $(3;9)$, точка луча $(1;3)$, точки гиперболы $(1;3)$ и $(-1;-3)$. Различных решений три — подходит.

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{3};1\right]\cup \{3\}$.