ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Обозначим $f=5x^2+8ax+4$ и $g=x^2+2ax+2$. Уравнение имеет вид $\sqrt{f}=g$. Арифметический корень неотрицателен, поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}f=g^2,\\ g⩾0.\end{array}$$

Условие $f⩾0$ отдельно писать не нужно: оно следует из $f=g^2$.

Выразим $f$ через $g$. Так как $4g=4x^2+8ax+8$, имеем

$$f=5x^2+8ax+4=\left(4x^2+8ax+8\right)+x^2-4=4g+x^2-4.$$

Подставим это в уравнение $f=g^2$:

$$4g+x^2-4=g^2\iff x^2=g^2-4g+4\iff x^2=(g-2{)}^2.$$

Квадраты равны тогда и только тогда, когда числа равны или противоположны: $g-2=x$ или $g-2=-x$. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}g=x+2,\\ x+2⩾0,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}g=2-x,\\ 2-x⩾0.\end{array}\end{array}$$

Вернёмся к переменной $x$. Первая система:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+2ax+2=x+2,\\ x⩾-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x(x+2a-1)=0,\\ x⩾-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ \{\begin{array}{l}x=1-2a,\\ x⩾-2.\end{array}\end{array}$$

Вторая система:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+2ax+2=2-x,\\ x⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x(x+2a+1)=0,\\ x⩽2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ \{\begin{array}{l}x=-1-2a,\\ x⩽2.\end{array}\end{array}$$

Итак, исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=0,\\ \{\begin{array}{l}x=1-2a,\\ 1-2a⩾-2,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=-1-2a,\\ -1-2a⩽2.\end{array}\end{array}$$

Число $x=0$ — корень при любом $a$. Число $1-2a$ — корень тогда и только тогда, когда $1-2a⩾-2$, то есть $a⩽\frac{3}{2}$: в другую систему оно попасть не может, если не равно $0$, так как там корни только $0$ и $-1-2a\ne 1-2a$. Аналогично число $-1-2a$ — корень тогда и только тогда, когда $-1-2a⩽2$, то есть $a⩾-\frac{3}{2}$.

Значит, корней не больше трёх, и ровно три их будет, когда оба числа $1-2a$ и $-1-2a$ являются корнями и все три числа попарно различны:

$$\{\begin{array}{l}a⩽\frac{3}{2},\\ a⩾-\frac{3}{2},\\ 1-2a\ne 0,\\ -1-2a\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}⩽a⩽\frac{3}{2},\\ a\ne \frac{1}{2},\\ a\ne -\frac{1}{2}.\end{array}$$

Неравенство $1-2a\ne -1-2a$ выполнено всегда.

Проверим граничное значение $a=\frac{3}{2}$: корни $0$, $1-3=-2$ и $-1-3=-4$. Для $x=-2$ правая часть исходного уравнения равна $4-6+2=0$, а подкоренное выражение $20-24+4=0$ — равенство $0=0$ верно, это действительно корень. Аналогично при $a=-\frac{3}{2}$ корень $x=2$ даёт $0=0$. Поэтому концы $\pm \frac{3}{2}$ входят в ответ.

Ответ: $a\in \left[-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$.