ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые парами:

$$\left(2a{x}^4+2a{x}^3\right)+\left(a^2{x}^2+a^{2}x\right)-\left(4x^3+4x^2\right)-(2ax+2a)=0.$$

Из каждой скобки выносится множитель $x+1$:

$$2a{x}^3(x+1)+a^{2}x(x+1)-4x^2(x+1)-2a(x+1)=0,$$

$$(x+1)\left(2a{x}^3+a^{2}x-4x^2-2a\right)=0.$$

Во второй скобке сгруппируем первое слагаемое с третьим, второе — с четвёртым:

$$2a{x}^3-4x^2+a^{2}x-2a=2x^2(ax-2)+a(ax-2)=(ax-2)\left(2x^2+a\right).$$

Получаем равносильное уравнение

$$(x+1)(ax-2)\left(2x^2+a\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1,\\ ax=2,\\ a=-2x^2.\end{array}$$

Решим задачу графически в плоскости $(x;a)$, по вертикальной оси откладываем $a$.

• $x=-1$ — вертикальная прямая.
• При $x=0$ равенство $ax=2$ неверно, а при $x\ne 0$ оно равносильно $a=\frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях.
• $a=-2x^2$ — парабола с вершиной $(0;0)$, ветви направлены вниз.

Найдём точки пересечения этих линий:

• прямая и гипербола: $a=\frac{2}{-1}=-2$, точка $(-1;-2)$;
• прямая и парабола: $a=-2\cdot (-1{)}^2=-2$, та же точка $(-1;-2)$;
• парабола и гипербола: $-2x^2=\frac{2}{x}$, $x^3=-1$, $x=-1$, $a=-2$ — снова точка $(-1;-2)$.

Все три линии проходят через одну точку $(-1;-2)$. Корни уравнения при фиксированном $a$ — абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с этими линиями. Характерные положения: $a=-2$ (прямая проходит через общую точку всех трёх линий) и $a=0$ (прямая проходит через вершину параболы — это ось $Ox$; гиперболу она не пересекает).

Разберём все положения прямой. Корни: $x=-1$; $x=\frac{2}{a}$ при $a\ne 0$; $x=\pm \sqrt{-\frac{a}{2}}$ при $a⩽0$.

1. $a<-2$. Тогда $\frac{2}{a}\in (-1;0)$ и $\sqrt{-\frac{a}{2}}>1$, поэтому $-\sqrt{-\frac{a}{2}}<-1<\frac{2}{a}<0<\sqrt{-\frac{a}{2}}$. Четыре различных корня — не подходит.

2. $a=-2$. Корни $x=-1$, $x=\frac{2}{-2}=-1$ и $x=\pm 1$. Различных корней два: $-1$ и $1$ — подходит.

3. $-2<a<0$. Тогда $\frac{2}{a}<-1$ и $\sqrt{-\frac{a}{2}}\in (0;1)$, поэтому $\frac{2}{a}<-1<-\sqrt{-\frac{a}{2}}<0<\sqrt{-\frac{a}{2}}$. Четыре различных корня — не подходит.

4. $a=0$. Равенство $ax=2$ принимает вид $0=2$ и корней не даёт, из $2x^2=0$ получаем $x=0$, и ещё есть $x=-1$. Два корня — подходит.

5. $a>0$. Уравнение $2x^2=-a$ корней не имеет, остаются $x=-1$ и $x=\frac{2}{a}>0$. Два корня — подходит.

Ответ: $a\in \{-2\}\cup [0;+\infty )$.