ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ уравнения — аргументы всех логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}3a-x>0,\\ 2a+2x-5>0,\\ x-a>0.\end{array}$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$\ln (3a-x)\cdot (\ln (2a+2x-5)-\ln (x-a))=0.$$

На ОДЗ оба множителя определены, поэтому произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из них:

• $\ln (3a-x)=0\iff 3a-x=1\iff x=3a-1$;
• $\ln (2a+2x-5)=\ln (x-a)$. Логарифм — строго возрастающая функция, поэтому при положительных аргументах равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: $2a+2x-5=x-a$, откуда $x=5-3a$.

Итак, корнями могут быть только $x_1=3a-1$ и $x_2=5-3a$. Кандидат является корнем на отрезке $[0;2]$, если он удовлетворяет ОДЗ и лежит на отрезке.

Кандидат $x_1=3a-1$. Подставим его в условия:

$$\{\begin{array}{l}3a-(3a-1)>0,\\ 2a+2(3a-1)-5>0,\\ 3a-1-a>0,\\ 0⩽3a-1⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1>0,\\ 8a-7>0,\\ 2a-1>0,\\ 1⩽3a⩽3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>\frac{7}{8},\\ a>\frac{1}{2},\\ \frac{1}{3}⩽a⩽1.\end{array}$$

Значит, $x_1$ — корень на отрезке $[0;2]$ при $a\in \left(\frac{7}{8};1\right]$.

Кандидат $x_2=5-3a$. Подставим:

$$\{\begin{array}{l}3a-(5-3a)>0,\\ 2a+2(5-3a)-5>0,\\ 5-3a-a>0,\\ 0⩽5-3a⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6a>5,\\ 5-4a>0,\\ 5-4a>0,\\ 3⩽3a⩽5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>\frac{5}{6},\\ a<\frac{5}{4},\\ 1⩽a⩽\frac{5}{3}.\end{array}$$

Второе и третье условия совпали — это естественно, ведь при $x=x_2$ аргументы двух последних логарифмов равны. Значит, $x_2$ — корень на отрезке $[0;2]$ при $a\in \left[1;\frac{5}{4}\right)$.

Совпадение кандидатов. $3a-1=5-3a$ при $a=1$, тогда $x_1=x_2=2$.

Подведём итог.

• При $a\in \left(\frac{7}{8};1\right)$ корень $x_1$ есть, а $x_2$ — нет. Один корень.
• При $a=1$ оба кандидата равны $2$ и являются корнем (проверка ОДЗ: $3-2=1>0$, $2+4-5=1>0$, $2-1=1>0$). Один корень.
• При $a\in \left(1;\frac{5}{4}\right)$ корень $x_2$ есть, а $x_1$ — нет. Один корень.
• При $a⩽\frac{7}{8}$ и при $a⩾\frac{5}{4}$ ни один кандидат не подходит, корней на отрезке нет.

Ответ: $a\in \left(\frac{7}{8};\frac{5}{4}\right)$.