ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен:

$$\{\begin{array}{l}5x-3⩾0,\\ x^2-6x+10-a^2>0.\end{array}$$

Заметим, что $x^2-6x+10-a^2=(x-3{)}^2+1-a^2$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом имеет смысл. На ОДЗ получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}5x-3=0,\\ (x-3{)}^2+1-a^2=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3}{5},\\ (x-3{)}^2=a^2\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{5},\\ x_2=3+a,\\ x_3=3-a.\end{array}$$

Назовём кандидата хорошим, если он удовлетворяет ОДЗ и лежит на отрезке $[0;3]$. Из ОДЗ $x⩾\frac{3}{5}$, поэтому вместе с отрезком получаем условие $\frac{3}{5}⩽x⩽3$.

Кандидат $x_1=\frac{3}{5}$. Он лежит на отрезке и обращает первое условие ОДЗ в равенство $0⩾0$. Осталось проверить второе условие:

$${\left(\frac{3}{5}-3\right)}^2+1-a^2>0\iff \frac{144}{25}+1>a^2\iff a^2<\frac{169}{25}\iff -\frac{13}{5}<a<\frac{13}{5}.$$

Кандидат $x_2=3+a$. Для него аргумент логарифма равен $1>0$, второе условие ОДЗ выполнено. Остаётся $\frac{3}{5}⩽x_2⩽3$:

$$\frac{3}{5}⩽3+a⩽3\iff -\frac{12}{5}⩽a⩽0.$$

Кандидат $x_3=3-a$. Аналогично:

$$\frac{3}{5}⩽3-a⩽3\iff 0⩽a⩽\frac{12}{5}.$$

Совпадения кандидатов. $x_1=x_2$ при $3+a=\frac{3}{5}$, то есть $a=-\frac{12}{5}$; $x_1=x_3$ при $a=\frac{12}{5}$; $x_2=x_3$ при $a=0$. Все три кандидата одновременно не совпадают, так как попарные совпадения происходят при разных $a$.

Отметим на оси $a$ точки $-\frac{13}{5}<-\frac{12}{5}<0<\frac{12}{5}<\frac{13}{5}$ и подсчитаем число различных хороших кандидатов на каждом участке.

• $|a|⩾\frac{13}{5}$: $x_1$ плохой; $x_2$ хороший только при $a\in \left[-\frac{12}{5};0\right]$, $x_3$ — только при $a\in \left[0;\frac{12}{5}\right]$. Корней нет.
• $-\frac{13}{5}<a<-\frac{12}{5}$: $x_1$ хороший, $x_2$ и $x_3$ плохие. Один корень — подходит.
• $a=-\frac{12}{5}$: $x_2=x_1=\frac{3}{5}$ — хороший, $x_3=\frac{27}{5}>3$ — плохой. Один корень — подходит.
• $-\frac{12}{5}<a<0$: хорошие $x_1$ и $x_2\ne x_1$, а $x_3=3-a>3$ плохой. Два корня.
• $a=0$: хорошие $x_1=\frac{3}{5}$ и $x_2=x_3=3$. Два корня.
• $0<a<\frac{12}{5}$: хорошие $x_1$ и $x_3\ne x_1$, а $x_2=3+a>3$ плохой. Два корня.
• $a=\frac{12}{5}$: $x_3=x_1=\frac{3}{5}$ — хороший, $x_2$ — плохой. Один корень — подходит.
• $\frac{12}{5}<a<\frac{13}{5}$: хороший только $x_1$. Один корень — подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in \left(-\frac{13}{5};-\frac{12}{5}\right]\cup \left[\frac{12}{5};\frac{13}{5}\right)$.