ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $f(x)=|x-a|+|2x+3a|$ и $g(x)=1-ax$. Нужно найти положительные $a$, при которых графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют ровно одну общую точку.

График $g$ — прямая, проходящая через фиксированную точку $(0;1)$ с угловым коэффициентом $-a<0$. При изменении $a$ она поворачивается вокруг этой точки.

Раскроем модули в $f(x)$. Нули подмодульных выражений: $x=a$ и $x=-\frac{3a}{2}$. Так как $a>0$, то $-\frac{3a}{2}<0<a$.

При $x<-\frac{3a}{2}$ оба выражения отрицательны:

$$f(x)=-(x-a)-(2x+3a)=-3x-2a.$$

При $-\frac{3a}{2}⩽x⩽a$ первое выражение неположительно, второе неотрицательно:

$$f(x)=-(x-a)+(2x+3a)=x+4a.$$

При $x>a$ оба выражения положительны:

$$f(x)=(x-a)+(2x+3a)=3x+2a.$$

График $f$ — «корыто» из трёх звеньев с угловыми коэффициентами $-3$, $1$, $3$. Вершины: $f\left(-\frac{3a}{2}\right)=\frac{5a}{2}$ и $f(a)=5a$, то есть точки $\left(-\frac{3a}{2};\frac{5a}{2}\right)$ и $(a;5a)$.

Уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно уравнению $h(x)=0$, где $h(x)=f(x)-g(x)=f(x)+ax-1$. На каждом промежутке это линейная функция, и её угловой коэффициент равен наклону звена корыта минус наклон прямой $-a$:

$$h(x)=\{\begin{array}{ll}(a-3)x-2a-1,& x⩽-\frac{3a}{2},\\ (a+1)x+4a-1,& -\frac{3a}{2}⩽x⩽a,\\ (a+3)x+2a-1,& x⩾a.\end{array}$$

Функция $h$ непрерывна как разность непрерывных функций. На двух правых промежутках её угловые коэффициенты $a+1>0$ и $a+3>0$, поэтому на луче $\left[-\frac{3a}{2};+\infty \right)$ функция $h$ строго возрастает и $h(x)\to +\infty$ при $x\to +\infty$.

Всё решает угловой коэффициент на левом луче — $a-3$. Он равен нулю, когда прямая $y=1-ax$ параллельна левому звену корыта $y=-3x-2a$.

Случай $a>3$. Тогда $a-3>0$, функция $h$ строго возрастает на всей прямой, $h(x)\to -\infty$ при $x\to -\infty$ и $h(x)\to +\infty$ при $x\to +\infty$. Непрерывная строго возрастающая функция с такими пределами обращается в ноль ровно в одной точке. Подходит.

Случай $a=3$. На луче $x⩽-\frac{9}{2}$ функция постоянна: $h(x)=-2\cdot 3-1=-7<0$, корней там нет. На луче $\left[-\frac{9}{2};+\infty \right)$ она возрастает от $-7$ до $+\infty$ и обращается в ноль ровно один раз. Подходит.

Случай $0<a<3$. Тогда $a-3<0$: на луче $\left(-\infty ;-\frac{3a}{2}\right]$ функция $h$ убывает от $+\infty$ до значения $m=h\left(-\frac{3a}{2}\right)$, а затем возрастает до $+\infty$. Значит, $m$ — наименьшее значение $h$, и

• при $m<0$ корней ровно два (по одному на каждом участке монотонности);
• при $m=0$ корень один: $x=-\frac{3a}{2}$;
• при $m>0$ корней нет.

Найдём $m$ — разность значения корыта и значения прямой в левой вершине:

$$m=\frac{5a}{2}-\left(1+\frac{3a^2}{2}\right)=-\frac{3a^2-5a+2}{2}=-\frac{(3a-2)(a-1)}{2}.$$

Равенство $m=0$ означает, что прямая проходит через вершину $\left(-\frac{3a}{2};\frac{5a}{2}\right)$ корыта. Это происходит при $a=\frac{2}{3}$ и $a=1$, оба значения лежат в промежутке $(0;3)$ и подходят. При остальных $a\in (0;3)$ имеем $m\ne 0$, и корней либо два, либо нет — не подходит.

Объединим найденные значения:

Ответ: $a\in \left\{\frac{2}{3};1\right\}\cup [3;+\infty )$.