ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение содержит корень, поэтому ограничение: $y-2x+12⩾0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Первый множитель — многочлен, он определён всегда, поэтому

$$(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}xy-2x+12=0,\\ y-2x+12⩾0,\end{array}\\ y-2x+12=0.\end{array}$$

Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}xy-2x+12=0,\\ y⩾2x-12,\\ y=3x+a;\end{array}(1)\\ \{\begin{array}{l}y=2x-12,\\ y=3x+a.\end{array}(2)\end{array}$$

Разберёмся, какие множества задают уравнения в плоскости $(x;y)$.

Уравнение $y=2x-12$ задаёт прямую $\ell$ с угловым коэффициентом $2$, проходящую через точку $(6;0)$. Неравенство $y⩾2x-12$ задаёт полуплоскость над этой прямой вместе с самой прямой.

В уравнении $xy-2x+12=0$ значение $x=0$ невозможно (получилось бы $12=0$), поэтому оно равносильно $y=2-\frac{12}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$. Выясним, какая её часть лежит в полуплоскости $y⩾2x-12$:

$$2-\frac{12}{x}⩾2x-12.$$

При $x<0$ левая часть больше $2$, а правая меньше $-12$, поэтому неравенство верно — вся левая ветвь подходит.

При $x>0$ умножим на $x$ и перенесём всё в одну часть:

$$2x-12⩾2x^2-12x\iff x^2-7x+6⩽0\iff (x-1)(x-6)⩽0\iff 1⩽x⩽6.$$

От правой ветви остаётся дуга с концами $(1;-10)$ и $(6;0)$. В концах неравенство обращается в равенство, то есть концы дуги лежат на прямой $\ell$, а внутренние точки дуги лежат строго выше $\ell$.

Уравнение $y=3x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $3$. Решения системы — общие точки такой прямой с объединением прямой $\ell$, левой ветви гиперболы и дуги.

Система (2). Из $3x+a=2x-12$ получаем $x=-12-a$. Угловые коэффициенты $3$ и $2$ различны, поэтому при любом $a$ прямая пересекает $\ell$ ровно в одной точке. Обозначим её $M$.

Система (1). Подставим $y=3x+a$ в уравнение гиперболы:

$$x(3x+a)-2x+12=0\iff 3x^2+(a-2)x+12=0.(\ast )$$

Дискриминант:

$$D=(a-2{)}^2-144=(a-2-12)(a-2+12)=(a-14)(a+10).$$

По теореме Виета $x_1{x}_2=4>0$, то есть корни одного знака, и $x_1+x_2=\frac{2-a}{3}$.

Найдём граничные положения прямой.

• Касание гиперболы ($D=0$): $a=14$ или $a=-10$. При $a=14$ двойной корень $x=-\frac{a-2}{6}=-2$, точка касания $(-2;8)$ лежит на левой ветви. При $a=-10$ двойной корень $x=2$, точка касания $(2;-4)$ лежит на дуге, так как $1⩽2⩽6$.
• Прямая проходит через конец дуги $(1;-10)$: $-10=3+a$, $a=-13$.
• Прямая проходит через конец дуги $(6;0)$: $0=18+a$, $a=-18$.

Теперь подсчитаем число решений при всех $a$.

1. $-10<a<14$. Тогда $D<0$, система (1) решений не имеет, есть только точка $M$. Одно решение.

2. $a=14$. Система (1) даёт точку $(-2;8)$, система (2) — точку $M(-26;-64)$. Точки различны, решений два — подходит.

3. $a>14$. Тогда $D>0$, корни уравнения $(\ast )$ одного знака, а их сумма $\frac{2-a}{3}<0$. Значит, оба корня отрицательны и дают две точки на левой ветви. Точка $M$ лежит на $\ell$, а $\ell$ пересекает гиперболу только в точках $(1;-10)$ и $(6;0)$ с положительными абсциссами, поэтому $M$ с ними не совпадает. Решений три.

4. $a=-10$. Система (1) даёт точку $(2;-4)$, система (2) — точку $M(-2;-16)$. Решений два — подходит.

5. $a<-10$. Тогда $D>0$, сумма корней $\frac{2-a}{3}>0$, оба корня положительны. Пусть $x_1<x_2$; так как $x_1{x}_2=4$, имеем $x_1<2<x_2$. Нужно понять, какие из корней попадают на отрезок $[1;6]$. Обозначим $g(x)=3x^2+(a-2)x+12$ — парабола ветвями вверх с вершиной в точке $x_0=\frac{2-a}{6}>2$.

Корень $x_1$ лежит на $[1;6]$ тогда и только тогда, когда $x_1⩾1$ (условие $x_1⩽6$ выполнено, так как $x_1<2$). Точка $1$ лежит левее вершины, поэтому $x_1⩾1$ равносильно $g(1)⩾0$:

$$g(1)=3+a-2+12=a+13⩾0\iff a⩾-13.$$

Корень $x_2$ лежит на $[1;6]$ тогда и только тогда, когда $x_2⩽6$ (условие $x_2⩾1$ выполнено, так как $x_2>2$). Так как $x_2=\frac{4}{x_1}$, это равносильно $x_1⩾\frac{2}{3}$, а точка $\frac{2}{3}$ тоже лежит левее вершины, поэтому условие равносильно $g\left(\frac{2}{3}\right)⩾0$:

$$g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}+\frac{2(a-2)}{3}+12=\frac{2a}{3}+12⩾0\iff a⩾-18.$$

Отсюда: при $-13⩽a<-10$ на дуге две точки, при $-18⩽a<-13$ — одна (с абсциссой $x_2$), при $a<-18$ — ни одной.

Осталось учесть точку $M$ с абсциссой $-12-a$. С точкой дуги она может совпасть только в конце дуги, потому что внутренние точки дуги лежат строго выше $\ell$, а это происходит при $a=-13$ и $a=-18$.

• $a<-18$: только точка $M$, одно решение.
• $a=-18$: на дуге точка $(6;0)$, а $M$ имеет абсциссу $-12+18=6$, то есть это та же точка. Одно решение — не подходит.
• $-18<a<-13$: точка дуги внутренняя (при $x_1\in \left(\frac{2}{3};1\right)$ имеем $x_2\in (4;6)$), она не совпадает с $M$. Два решения — подходит.
• $a=-13$: уравнение $(\ast )$ принимает вид $3x^2-15x+12=0$, то есть $x^2-5x+4=0$, корни $1$ и $4$. Точки $(1;-10)$ и $(4;-1)$. Точка $M$ имеет абсциссу $-12+13=1$ и совпадает с $(1;-10)$. Два решения — подходит.
• $-13<a<-10$: две внутренние точки дуги и точка $M$, три решения.

Итак, ровно два решения система имеет при $-18<a⩽-13$, $a=-10$ и $a=14$:

Ответ: $a\in (-18;-13]\cup \{-10;14\}$.