ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть и поставим рядом слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$$\left(a{x}^4-a{x}^3\right)+\left(x^3-x^2\right)+\left(a^3-2a\right)\left(x^2-x\right)+\left(a^2-2\right)(x-1)=0.$$

Из каждой скобки выносится множитель $x-1$:

$$a{x}^3(x-1)+x^2(x-1)+\left(a^3-2a\right)x(x-1)+\left(a^2-2\right)(x-1)=0,$$

$$(x-1)\left(a{x}^3+x^2+\left(a^3-2a\right)x+a^2-2\right)=0.$$

Во второй скобке $a^3-2a=a\left(a^2-2\right)$. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе — с четвёртым:

$$a{x}^3+a\left(a^2-2\right)x+x^2+\left(a^2-2\right)=ax\left(x^2+a^2-2\right)+\left(x^2+a^2-2\right)=(ax+1)\left(x^2+a^2-2\right).$$

Значит, исходное уравнение равносильно уравнению

$$(x-1)(ax+1)\left(x^2+a^2-2\right)=0.$$

Все множители определены при любых $x$ и $a$, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей:

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ ax=-1,\\ x^2+a^2=2.\end{array}$$

Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$: по горизонтальной оси откладываем $x$, по вертикальной — $a$.

• Уравнение $x=1$ задаёт вертикальную прямую.
• При $x=0$ равенство $ax=-1$ неверно, а при $x\ne 0$ оно равносильно $a=-\frac{1}{x}$. Это гипербола с ветвями во II и IV четвертях.
• Уравнение $x^2+a^2=2$ задаёт окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $\sqrt{2}$.

При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенными линиями. Если прямая проходит через точку пересечения двух линий, такая точка даёт один корень, а не два. Поэтому найдём попарные пересечения линий.

• Прямая $x=1$ и окружность: $1+a^2=2$, $a=\pm 1$ — точки $(1;1)$ и $(1;-1)$.
• Прямая $x=1$ и гипербола: $a=-\frac{1}{1}=-1$ — точка $(1;-1)$.
• Окружность и гипербола: подставим $a=-\frac{1}{x}$ в уравнение окружности и умножим на $x^2\ne 0$.

$$x^2+\frac{1}{x^2}=2\iff x^4-2x^2+1=0\iff {\left(x^2-1\right)}^2=0\iff x=\pm 1.$$

Получаем точки $(1;-1)$ и $(-1;1)$.

Кроме того, в верхней и нижней точках окружности $\left(0;\pm \sqrt{2}\right)$ горизонтальная прямая касается окружности, и окружность даёт один корень вместо двух. Итак, характерные положения прямой: $a=\sqrt{2}$, $a=1$, $a=-1$ и $a=-\sqrt{2}$.

Разберём все положения прямой, выписывая корни явно: $x=1$; $x=-\frac{1}{a}$ при $a\ne 0$; $x=\pm \sqrt{2-a^2}$ при $|a|⩽\sqrt{2}$.

1. $|a|>\sqrt{2}$. Окружность корней не даёт, так как $2-a^2<0$. Остаются $x=1$ и $x=-\frac{1}{a}$. Они совпадают только при $a=-1$, а это значение в рассматриваемый промежуток не входит. Корней ровно два — подходит.

2. $a=\pm \sqrt{2}$. Окружность даёт один корень $x=0$, гипербола — корень $x=-\frac{1}{a}=\mp \frac{\sqrt{2}}{2}$, и ещё есть $x=1$. Три различных корня — не подходит.

3. $a=0$. Равенство $ax=-1$ превращается в $0=-1$ и корней не даёт. Остаются $x=1$ и $x=\pm \sqrt{2}$ — три корня, не подходит.

4. $0<|a|<\sqrt{2}$, $a\ne \pm 1$. Получаем четыре числа $1$, $-\frac{1}{a}$, $\sqrt{2-a^2}$, $-\sqrt{2-a^2}$. Проверим, могут ли какие-то из них совпасть:

• $\sqrt{2-a^2}\ne -\sqrt{2-a^2}$, так как $2-a^2>0$;
• $\pm \sqrt{2-a^2}=1$ только при $2-a^2=1$, то есть $a^2=1$;
• $-\frac{1}{a}=1$ только при $a=-1$;
• $-\frac{1}{a}=\pm \sqrt{2-a^2}$ влечёт $\frac{1}{a^2}=2-a^2$, то есть ${\left(a^2-1\right)}^2=0$, $a^2=1$.

При $a^2\ne 1$ совпадений нет, корней четыре — не подходит.

5. $a=1$. Корни: $x=1$, $x=-1$ и $x=\pm 1$. Различных корней два: $-1$ и $1$ — подходит.

6. $a=-1$. Корни: $x=1$, $x=1$ и $x=\pm 1$. Различных корней снова два — подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup \{-1;1\}\cup \left(\sqrt{2};+\infty \right)$.