ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Заметим сразу: если пара $(x_0;y_0)$ — решение системы, то и пара $(x_0;-y_0)$ — решение, так как $y$ входит в систему только в виде $y^2$ и $|y|$.

Квадратные корни равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны:

$$\sqrt{a+x^2}=\sqrt{a+y^2}\iff \{\begin{array}{l}a+x^2=a+y^2,\\ a+y^2⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=y^2,\\ a+y^2⩾0.\end{array}$$

Значит, исходная система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2=y^2,\\ x^2+y^2=2x+2|y|+4,\\ a+y^2⩾0.\end{array}$$

Сначала решим первые два уравнения, а затем наложим на решения условие с параметром.

Равенство $x^2=y^2$ означает $|y|=|x|$. Подставим $y^2=x^2$ и $|y|=|x|$ во второе уравнение и разделим на $2$:

$$x^2=x+|x|+2.$$

При $x⩾0$ получаем $x^2=2x+2$, то есть $(x-1{)}^2=3$ и $x=1\pm \sqrt{3}$. Условию $x⩾0$ удовлетворяет только $x=1+\sqrt{3}$.

При $x<0$ получаем $x^2=2$ и, с учётом знака, $x=-\sqrt{2}$.

Число $x=0$ корнем не является ($0\ne 2$). Каждому найденному $x$ соответствуют два значения $y=\pm x$, и при любом из них $|y|=|x|$, так что второе уравнение выполнено. Получаем четыре точки:

$$\left(1+\sqrt{3};\pm \left(1+\sqrt{3}\right)\right),\left(-\sqrt{2};\pm \sqrt{2}\right).$$

Наложим условие $a+y^2⩾0$.

Для первых двух точек $y^2={\left(1+\sqrt{3}\right)}^2=4+2\sqrt{3}$, и условие принимает вид $a⩾-4-2\sqrt{3}$.

Для двух других точек $y^2=2$, и условие принимает вид $a⩾-2$.

Так как $-4-2\sqrt{3}<-2$, получаем:

при $a⩾-2$ подходят все четыре точки — четыре решения;

при $-4-2\sqrt{3}⩽a<-2$ подходят только точки $\left(1+\sqrt{3};\pm \left(1+\sqrt{3}\right)\right)$ — ровно два решения;

при $a<-4-2\sqrt{3}$ решений нет.

Граничное значение $a=-4-2\sqrt{3}$ подходит: для первых двух точек подкоренные выражения обращаются в ноль, и равенство $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ верно. Значение $a=-2$ не подходит: при нём к двум решениям добавляются точки $\left(-\sqrt{2};\pm \sqrt{2}\right)$.

Ответ: $a\in \left[-4-2\sqrt{3};-2\right)$.