ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену

$$p=\sqrt{x+2a-1},q=\sqrt{x-a}.$$

Тогда $p⩾0$, $q⩾0$, $p^2=x+2a-1$, $q^2=x-a$. Вычтем из первого равенства второе:

$$p^2-q^2=(x+2a-1)-(x-a)=3a-1.$$

Обратно, если числа $p⩾0$, $q⩾0$ удовлетворяют условиям $p^2-q^2=3a-1$ и $x=q^2+a$, то $q^2=x-a$ и $p^2=q^2+3a-1=x+2a-1$, то есть $p$ и $q$ — значения наших корней. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}p+q=1,\\ p^2-q^2=3a-1,\\ x=q^2+a,\\ p⩾0,q⩾0.\end{array}$$

Так как $p+q=1$, имеем $p^2-q^2=(p-q)(p+q)=p-q$. Получаем систему из двух линейных уравнений:

$$\{\begin{array}{l}p+q=1,\\ p-q=3a-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}p=\frac{3a}{2},\\ q=1-\frac{3a}{2}.\end{array}$$

При любом $a$ числа $p$ и $q$ определяются однозначно, а $x={\left(1-\frac{3a}{2}\right)}^2+a$. Значит, уравнение имеет решение (и притом одно) тогда и только тогда, когда выполнены условия неотрицательности:

$$\{\begin{array}{l}\frac{3a}{2}⩾0,\\ 1-\frac{3a}{2}⩾0\end{array}\iff 0⩽a⩽\frac{2}{3}.$$

Проверим концы. При $a=0$ получаем $x=1$: $\sqrt{0}+\sqrt{1}=1$. При $a=\frac{2}{3}$ получаем $x=\frac{2}{3}$: $\sqrt{1}+\sqrt{0}=1$. Оба значения подходят.

Ответ: $a\in \left[0;\frac{2}{3}\right]$.