ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

ОДЗ уравнения: $3x+a>0$ и $4x-a>0$. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$(3x-1)\left(\ln (3x+a)-\ln (4x-a)\right)=0.$$

На ОДЗ это равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}3x-1=0,\\ \ln (3x+a)=\ln (4x-a)\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{3},\\ 3x+a=4x-a\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{3},\\ x=2a.\end{array}$$

Равенство логарифмов заменено равенством аргументов, так как логарифм — возрастающая функция. Назовём кандидата хорошим, если он входит в ОДЗ и лежит на отрезке $[0;1]$.

Кандидат $x_1=\frac{1}{3}$. Он лежит на отрезке $[0;1]$. Условия ОДЗ: $1+a>0$ и $\frac{4}{3}-a>0$. Значит, $x_1$ хорош при $-1<a<\frac{4}{3}$.

Кандидат $x_2=2a$. Условия ОДЗ: $3\cdot 2a+a=7a>0$ и $4\cdot 2a-a=7a>0$, то есть $a>0$. Условие $0⩽2a⩽1$ даёт $0⩽a⩽\frac{1}{2}$. Значит, $x_2$ хорош при $0<a⩽\frac{1}{2}$.

Совпадение. $2a=\frac{1}{3}$ при $a=\frac{1}{6}$; при этом оба кандидата хороши.

Переберём значения $a$, разбив прямую точками $-1$, $0$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$.

При $a⩽-1$ оба кандидата плохие — корней нет.

При $-1<a⩽0$ хорош только $x_1$ — один корень.

При $0<a<\frac{1}{6}$ и при $\frac{1}{6}<a⩽\frac{1}{2}$ хороши оба кандидата, и они различны — два корня.

При $a=\frac{1}{6}$ кандидаты совпадают: $x_1=x_2=\frac{1}{3}$ — один корень.

При $\frac{1}{2}<a<\frac{4}{3}$ хорош только $x_1$ (число $2a>1$ вне отрезка) — один корень.

При $a⩾\frac{4}{3}$ оба кандидата плохие — корней нет.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in (-1;0]\cup \left\{\frac{1}{6}\right\}\cup \left(\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right)$.